动力学定律

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  将力和加速度建立起联系的牛顿定律是现代物理学的起点。而采用一系列的流图是天气和气候预报模型的核心。自古以来，力的直观概念一直被理解为一种静态平衡。我们可以据此来设计建筑物的拱顶，使用杠杆或者描述阿基米德浮力作用下的处于平衡状态的流体。正是伽利略发现的惯性原理为提出牛顿动力学定律奠定了基础，牛顿动力学定律非常成功地解释了行星、卫星以及潮汐的运动。由于需要大量数学专业知识，这限制了我们对于大气或海洋等复杂系统的认知，然而，在计算机出现后，求解这些复杂系统的动力学方程才成为可能。也正是因为我们认识到了动量、能量、动力矩等守恒定律以及全局约束条件，才使我们能更为直接地理解这些现象。

1、力的平衡

  力代表着物体受到的某种机械作用，它具有明确的物理来源，如万有引力（重力）、带电粒子上的电力、电缆受到的接触力或拉力、又比如弹簧的弹力。与物理学的许多基本概念一样，力本身很难定义，但可以通过实验实测以及它与其他物理量的数学关系来进行研究。

  力的大小（或称为模量）、方向、作用点被称为力的三要素，它在数学上可用矢量来表示。作用在静止物体上力的合力一定为零。通过弹簧测力计在静态下的伸长量可以来测量力（图1）。通过连续添加质量相同砝码的系列实验，可证实弹簧的伸长量与其所受力的大小成正比。这样，校准后的弹簧测力计就可以用来测量不同的力了。对于在空气中静止悬浮的热气球来说，其总重量是与阿基米德浮力相平衡的，而阿基米德浮力与热气球所排开空气的重力大小相等、方向相反。这恰是大气压力作用在气囊周围的结果：由于大气压力随高度升高而降低，气囊底部的压力高于顶部，从而热气球受到一个向上的净压力。实际上，压力和重力之间的这种平衡适用于任意形状的流体的平衡，即所谓的流体静力学平衡（参见《压强、温度和热量》一文）。正是由于这种平衡，大气中的空气和水分虽然受重力，但不会下落到地面上去。当空气温度升高时，其密度或者说单位体积的质量就会降低，而压力要受到气囊周围空气的重量所控制，要使受力状态保持不变，气球就会失去平衡，导致热气球在竖直方向上加速上升。同理，在大气层中，局部气团被太阳辐射加热时也会趋于上升：这就是对流的原理。

  一般来说，力的平衡必须用矢量来表示，这是建筑结构中计算力的基础，如图2。对于每个质点，例如线的交点，当处于平衡状态时，力的矢量和必须为零，如图3a所示，已知力F₃以及角θ₁和θ₂，F₁和F₂的大小可以通过几何结构或沿垂直轴和水平轴的矢量投影通过数值的方法来计算。在物理学中，一个实际物体，如固体，被描述为一组由内力保持在一起的质点。这些内力应与外力，如重力或与其他物体的接触力，是相区分开来的。根据作用和反作用原理，内力是相互抵消的，因此物体的平衡只需要外力抵消掉。

  然而，实际物体的平衡条件不仅要抵消掉外力，还要抵消掉总力矩以避免其旋转。力矩定义为为该点到力的作用线所引垂线的长度（即力臂）乘以力的大小。图3b所示的杠杆就是一个十分典型的例子。在平衡状态或是慢速运动的准平衡状态下，力矩抵消的条件是F₁d₁ = F₂d₂（这里的力都是垂直于轴线的），这样就可以通过减小到转动中心点的距离来放大所施加的力（一般用F₁表示力的大小，而F₁则表示力的矢量）。在这里只考虑与杠杆有关的力矩，因为地面的反作用力R的力矩会自行抵消掉了。如果是对任一数轴而言，则在此基础上还需要考虑地面的反作用力R，这样计算才能得到相同的结果。

2、力和加速度

  现在让我们离开静力学进入到动力学领域中来，根据著名的牛顿运动定律，F=mg，物体的加速度与作用在物体上的合力F有关，其中m是物体的质量，g是重力加速度矢量。由此可以将力的单位牛顿（N）定义为使质量1kg的物体产生1 m/s²加速度的力，即1N=1kg·m/s²。

  根据伽利略(1564-1642)首次提出的惯性原理，一个不受任何外力的物体将保持静止或匀速直线运动。这个原理在当时并不是很直观，因为在日常生活中，任何运动都会在不受力的情况下趋于停止。这种减速（负加速度）现在归因于与速度方向相反的摩擦力。但在星际空间中，摩擦力变得可以忽略不计了，牛顿（1643-1727）的巨大成功在于他通过一个简单的定律从数学上描述了行星和卫星的运动，即万有引力的大小与它们之间的距离r的平方成反比。

  牛顿定律的应用需要用到一个数学概念，即导数，它规定了速度和加速度的概念。我们注意到速度v=dz/dt，其中dz是时间间隔dt内的一小段位移。实际上，我们考虑的是个极短时间间隔的极限。同样，加速度记为g=dv/dt。对于恒定的加速度g，速度则与时间成正比，v＝gt，很容易证明下降的距离（初始高度z₀与高度z之差）z₀-z＝（1/2）gt²。因此，在重力（g=9.8m/s²）的作用下，地球上的物体要在1s内达到9.8 m/s（35 km/h）的速度，下降高度应为4.9m。

  现在普遍用矢量形式来表示牛顿定律：即物体可以像前面所说的那样垂直地下落，同时通过惯性保留其水平速度的分量。当水平速度足够大时，则必须考虑地球的曲率，如卫星的圆周运动。在这种情况下，速度的大小不变，但速度的方向随角速度的方向而旋转变化[1]。因而，加速度的方向与速度的方向垂直，并指向地球的中心，其值为g=v²/r，如图4所示。因此，对于一颗地球的人造卫星而言[2]，g=9.8 m/s²，r=6500 km，从而得出：速度v=(gr)^1/2=8 km/s，地球周长40000 km，因而，卫星旋转一周的时间为T=5000 s (1h 23min)。

  这样，就可以计算出卫星在地球表面附近运动的速度v=8000 m/s （r=6500 km，g=9.81 m/s²）。如果重力加速度g与1/r²成正比，则圆周运动的速度v=(gr)^1/2与1/(r^1/2)成正比，公转周期2πr/v则与r^3/2成正比。因此，距离地球384000 km的月球，即r=384000 km，相当于地球半径的60倍，它的公转时间必是地球附近的卫星的465倍，即27天。这与观测结果是一致的[3]。行星绕太阳转的公转周期与r^3/2成正比的规律最早是被开普勒（1571-1630）发现的。牛顿还阐明了除了特殊的圆形轨道外的一般情形的椭圆形轨道运动（以及速度不断减小的双曲线轨道运动）。牛顿根据对行星位置的精确测量证实了之前开普勒建立的三大定律。

  由于重力本身与质量成正比，因此加速度与质量无关，也就是说所有物体在同一地点都以相同的加速度坠落。伽利略指出了重力质量和惯性质量之间的这种等效性，并通过他著名的比萨斜塔抛落物体的实验（也许是想象的）来证明。科学家们在没有空气摩擦的真空中又重复了这个实验，结果与伽利略所说的十分吻合。为了展示给公众看，阿波罗十五号的宇航员就在月球上拍摄了一段比较锤子和羽毛下落的影片[4]，同时，科学家们也在地球上一个巨大的真空室中拍摄过类似的影片[5]。正是由于这个等效原理，卫星中的每个物体都会沿着完全相同的轨道绕地球转动，因此，在人造卫星上每个物体都会因失重而漂浮。目前，这种等效性已经得到了相对精度为10^-13（十万亿之一）的检验，预计最近发射的“显微镜号”人造卫星上的检验精度将达到10^-15。而这些超高精确的测量就是为了检验新引力理论中所预测的等效原理的偏差。

3、动能和势能

  在上述自由落体的例子中，可以注意到mg(z₀-z)=m(1/2)g²t²=(1/2)mv²。这就是由动能(1/2)mv²和势能mgz组成的机械能守恒定律。当物体下落时，其动能不断增加的同时，势能也在不断减小，所以总机械能不变（没有摩擦力的情况）。对于卫星来说，机械能守恒更加适用，动能(1/2)mv²一般都为速度大小的函数，但重力势能的表达式必须修正。这种势能只取决于物体的位置，因此它在绕地转一圈后会回到原先相同的值，动能也会回到原先相同的值，这才符合行星可以无限地持续运动这一基本事实。重力势的定义是用这个重力势能除以物体的质量。这种势表征了重力场的特点，即与围绕它运行的物体本身无关（只要该物体足够小，且没有通过反作用力的作用使行星产生运动）。

  机械能守恒不适用于一些特殊的力的定律。如摩檫力，它与重力不同，它会使机械能减少，所以，卫星会因接触残留大气而最终坠落。然而，损失的机械能会转化为热能，所以总能量仍然是守恒的（见《能量》）。热量本质上对应的是气体分子的无序动能。对于一个均匀的球状星体来说，势能以-1/r变化，所以等势面是一个个同心球面。但是，由于地球的自转和本身的不均匀性，这些同心球面会发生微小的畸变。平衡状态下的海洋表面就是这种等势面（见《海洋环境》）。事实上，在等势面上运动的物体都保持着相同的势能，由于它的总能量是守恒的，所以在重力的作用下，它不能单独获得（或失去）速度。反之，如果海洋表面的形状偏离了等势面，表层的水就会倾向于流向势能较低的区域，直到填满这些区域，重新达到等势面的平衡状态。由于地幔的侵蚀和塑性，地球的固体表面也在接近于等势面。

4、动量

  一个质点的动量被定义为质量和速度的乘积，这个动量的定义可以通过将每个质点的动量矢量相加拓展到任何物理系统中。很容易证明系统的总动量等于系统的受其总质量影响的惯性中心（质心）的总动量。牛顿运动定律表明动量对时间的导数等于作用于系统的合力。

  根据物理学的基本原理，孤立系统的动量是守恒的。换句话说，它的惯性中心匀速运动时，只有外力才能改变这个速度。另一种等效的说法是作用力与反作用力原理，它规定任意一个物体A对任意一个物体B施加力时，都会受到物体B施加的一个大小相等但方向相反的力，而且运动定律表明，这些内力不会改变A+B整个系统的动量。这就涵盖了上面所讨论的静态平衡条件。

  假设知道了两个物体的初始质量m₁和m₂以及各自的初始速度u₁和u₂，就可以计算出它们碰撞前的总的动量m₁u₁+m₂u₂，根据动量守恒就可以求出碰撞后速度。如果我们进一步假设是弹性碰撞，即动能(1/2)m₁u₁²+(1/2)m₂u₂²也是守恒的，则可以计算出两者的最终速度。如果m₁=m₂，就可以实现它们之间速度的交换（图5a）。再假设碰撞完全没有弹性即碰撞后相互粘在的情况下，质量在碰撞后仍是定值，根据动量守恒定律，可以得到最终速度等于初始速度的加权平均值(m₁u₁+m₂u₂)/(m₁+m₂)。将这些碰撞特性应用到气体分子上，就可以用来解释粘度现象，由于要保持总动量守恒，流体内部的快速和慢速区域的动量趋于相等。

  火箭或飞机的推进是另一个经典的例子：无论哪种复杂的推进机制，飞行器的动量与喷射气体的动量都一直是大小相等方向相反的。这也适用于万有引力作用下的情形，月球吸引地球的力与地球作用在月球上的引力大小相等，方向相反。因此，地球绕地-月系统的惯性中心旋转的方式与锤式发射器是相同的，锤式发射器必须旋转摆动以补偿旋转球体的反作用力（见《潮汐》）。正是这个惯性中心说明了地球是位于绕着太阳旋转的椭圆形轨道上，而不是地球自身的。

5、角动量

  关于旋转轴的角动量定义为质点到轴的距离与它的动量在垂直轴的方向上的投影的乘积。这个定义可以推广到整个物体，例如一个固体，可以将其看成由很多质点组成，固体的角动量可视作这些质点角动量之和。我们在动力学定律中证明过了，动量矩对时间的导数等于作用在系统上的力的合力矩。静力学定律要求作用在系统上的力的合力矩为零。

  角动量守恒定律规定内力的力矩会相互抵消的，只有外力的力矩才能改变角动量。因此对于固体来说，内聚力不会影响到动量矩的平衡，正如它不影响动量一样。这是物理学的基本原理，与作用力与反作用力原理不同，但是互为补充。

  换句话说，如果没有外力的作用，一个系统是不可能自发旋转的，或初始旋转会一直保持下去。但在物体收缩或伸展的情况下，它的旋转速度可能会发生变化。事实上，对于同一个质点来说，力矩一定时速度u与离轴的距离r的乘积不变，所以速度u与距离r成反比，其角速度u/r与这个距离的平方成反比。

  滑冰运动员与自然环境中龙卷风和气旋的形成（见《龙卷风：强大的毁灭性漩涡》）都是很典型的例子。地球的自转也是由于形成地球的物质在吸积过程中角速度不断增大而形成的。其次，最为壮观的例子是旋转周期为几毫秒~几秒量级的高密度脉冲星。它们是由百万公里的大质量恒星塌缩至10公里时形成，如此快的收缩可使角速度激增100亿倍（部分角动量在超新星爆发时就被抛射出去了。

  事实上，角动量是一个方向与旋转轴一致的向量[6]，陀螺仪的原理就是它的角动量的方向和大小保持不变。同样地，地球的旋转轴始终朝着固定的星系，即指向北极星附近的区域。

  角动量守恒仅适用于孤立系统，更确切地说是在没有外力或扭矩的情况下成立的。垂直于旋转轴的扭矩会使旋转轴转动，但不会改变其角速度，这就是可观察到的陀螺进动现象，见图6 (恰如垂直于速度矢量的加速度只能使它发生偏转，不能改变速度的大小一样)。因极地的形状扁平，月球对地球其他突出部分的引力较大，使地球也会有类似的现象发生。这就导致了地球旋转轴以26000年为周期的缓慢进动（见图6）。于是，数百年来，地极的方向一直在天球上做缓慢的运动。当地球的旋转轴朝着垂直于太阳的方向上偏斜时，就会导致地球轨道上春(秋)分点的位移，这是为什么称这个现象为岁差的原因了。由此，太阳辐射的相应改变会引起冰川期和间冰期之间的气候转变。

 

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参考资料与说明

封面照片：维基共享http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0 (Uploaded to Flickr as jfpds regular)[CC BY-SA 2.0 (极博双板滑雪俱乐部)]。

[1] 角速度Ω是单位时间内所经过的角度，一般用弧度/s表示，所以Ω=v/r 。弧度定义为截取等于半径的圆弧的角度，所以完整的一圈(周长2πr)代表2π弧度，旋转周期为T=2π/Ω=2πr/v。

[2] 为了避免大气摩擦，高度必须达到几百公里，但重力加速度仍然接近地球表面的加速度，轨道半径与地球相差无几。

[3] 这就是恒星公转，即相对于恒星而言，而两个满月之间的时间为29.5天，是同步公转，即相对于太阳而言。

[4] 阿波罗15号的锤子和羽毛坠落—Youtube

[5] 布莱恩·考克斯参观了世界上最大的真空室—人类宇宙：第四集预览-bbc第二集—Youtube

[6] 角动量相对于原点O的定义更为精确，对于点M处的质点m，它是位矢OM与动量mu的矢量积，对于一个轴对称的固体，如陀螺或地球，动量矩与旋转轴对齐，其值与角速度和惯性矩成正比。

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译者：郭晓康          审校：王晓东教授          责任编辑：杨茹月