动力学定律

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  将力和加速度联系在一起的牛顿定律成为了现代物理学的起源。而将其应用于一张张流场图中则是天气和气候预测模型的核心。自古以来，力的直观概念一直被理解为静态平衡。我们可以据此来设计建筑物的拱顶，使用杠杆，或者描述阿基米德浮力作用下的处于平衡状态的流体。正是伽利略发现的惯性原理为牛顿动力学定律的提出奠定了基础，牛顿动力学定律非常成功地解释了行星、卫星以及潮汐的运动。由于需要大量专业上的数学处理，我们对于大气层或海洋等复杂系统的理解是非常有限的。自计算机诞生以来，高精度地求解动力学方程才成为了可能。进而，通过动量、能量、动力矩守恒定律以及全局约束条件的求解，才帮助人们能够更直观地理解这些现象。

1、力的平衡

  力代表了物体受到的某种机械作用，它具有明确的物理来源，如万有引力（重力）、带电粒子上的电力、电缆受到的接触力或拉力、又比如弹簧的弹力。与物理学的许多基本概念一样，力本身很难定义，但可以通过实验实例以及它与其他物理量的数学关系来研究。

  强度（或模量）、方向、作用点是力的三要素，它在数学上可用矢量来表示。作用在静止物体上的合力一定为零。力可以通过测量弹簧相对于静止状态的伸缩量来得到（图1）。通过连续添加质量相同砝码的一系列实验，可证实弹簧的伸长量与其所受力的大小成正比。这样，校准后的弹簧测力计就可以用来测量不同大小的力了。对于在空气中静止悬浮的热气球来说，其总重量是与阿基米德浮力相平衡的，而阿基米德浮力与热气球所排开空气的重力大小相等，方向相反。这恰是大气压力作用在气囊周围的结果：由于大气压力随高度升高而降低，气囊底部的压力高于顶部，从而变为一个向上的净压力。实际上，压力和重力之间的这种平衡适用于任意体积形状的流体的平衡，即所谓的流体静力学平衡（参见《压强、温度和热量》）。正是由于这种平衡，大气层中的空气和水虽然受重力但不会下落到地面上去。当空气温度升高时，其密度或者说单位体积的质量就会降低，而压力要受到气囊周围空气的重量所控制，要使其保持不变，气球的平衡状态就会被打破，导致热气球在竖直方向上加速上升。同理，在大气层中，局部气团被太阳辐射加热时也会趋于上升：这就是对流的原理。

  一般来说，力的平衡必须用矢量来表示，这是建筑结构中计算力的基础，如图2。对于每个质点，例如线的交点，当处于平衡状态时，力的矢量和必须为零，如图3a所示，已知力F₃以及角θ₁和θ₂，F₁和F₂的大小可以通过几何结构或沿垂直轴和水平轴的矢量投影来计算。在物理学中，一个实际物体(如固体)被描述为一组由内力保持在一起的质点。这些内力应与外力(如重力或与其他物体的接触力)区分开来。内力由于作用和反作用原理而相互抵消，因此物体的平衡需要抵消掉外力。

  然而，实际物体的平衡条件不仅要抵消掉外力，还要抵消掉总力矩以避免其旋转。力矩定义为垂直于轴线投影的力与转动中心点到力的作用线的距离的乘积。图3b所示的杠杆是一个十分经典的例子。在平衡状态下，或是慢速运动的准平衡状态下，力矩抵消的要求是F₁d₁=F₂d₂（这里的力是垂直于轴线的），这样就可以通过减小到转动中心点的距离来放大所施加的力（通常，F₁表示力的强度，而F₁则表示矢量）。在这里通常只考虑与杠杆轴有关的力矩，因此地面反作用力R的力矩会自行抵消。如果是对于任一数轴，则在此基础上还需要考虑地面的反作用力R，这样计算才能得到相同的结果。

2、力和加速度

  让我们现在离开静力学领域，根据著名的牛顿运动定律，F=mg，物体的加速度与作用在物体上的合力F有关，其中m是物体的质量，g是重力加速度矢量。由此可以将力的单位牛顿（N）定义为使质量1kg的物体产生1 m/s²加速度的力，即1N=1kg·m/s²。

  根据伽利略(1564-1642)首次提出的惯性原理，一个不受任何外力的物体将保持静止或匀速直线运动。这个原理在当时并不是很直观，因为在日常生活中，任何运动都会在不受力的情况下趋于停止。这种减速（负加速度）现在归因于与速度方向相反的摩擦力。但在星际空间中，摩擦力变得可以忽略不计了，牛顿（1643-1727）的巨大成功在于他通过一个简单的定律从数学上描述了行星和卫星的运动，即万有引力的大小与它们之间的距离r的平方成反比。

  牛顿定律的应用需要用到一个数学概念，即导数，它规定了速度和加速度的概念。我们注意到速度v=dz/dt，其中dz是时间间隔dt内的一小段位移。实际上，我们考虑的是个极短时间间隔的极限。同样，加速度记为g=dv/dt。对于恒定的加速度g，速度则与时间成正比，v＝gt，很容易证明下降的距离（初始高度z₀与高度z之差）z₀-z＝（1/2）gt²。因此，在重力（g=9.8m/s²）的作用下，地球上的物体要在1s内达到9.8 m/s（35 km/h）的速度，下降高度应为4.9m。

  现在普遍用矢量形式来表达牛顿定律：即物体可以像前面所说的那样垂直地下落，同时通过惯性保留其水平速度分量。当水平速度足够大时，则必须考虑地球的曲率，如卫星的圆周运动。在这种情况下，速度的大小不变，但速度方向会以一定的角速度旋转[1]。因而，加速度与速度垂直，并指向地球中心，其值为g=v²/r，如图4所示。因此，对于一颗靠近地球的卫星[2]，g=9.8 m/s²，r=6500 km，从而得出：速度v=(gr)^1/2=8 km/s，公转时间(长度40000km)T=5000s (1h 23min)。

  这样就能计算出了卫星在地球表面附近运动的速度v=8000m/s（r=6500km，g=9.81m/s²）。如果重力加速度g与1/r²成正比，则圆周运动的速度v=(gr)^1/2与1/r^1/2成正比，公转周期2πr/v则与r^3/2成正比。因此，距离地球384000km的月球，即r=384000km，相当于地球半径的60倍，它的公转时间一定是地球附近的卫星的465倍，即27天。这与观测结果是一致的[3]。行星绕太阳转的公转周期与r^3/2成正比的规律最早是被开普勒(1571-1630)发现的。牛顿根据对行星位置的精确测量以及行星运动的计算，证实了以前开普勒建立的三大定律。同时，牛顿不仅解释了圆形轨道这种特殊情况的轨道运动，还阐述了在实际星空中一般行星和卫星的椭圆轨道运动（以及超出衰竭速度的双曲线轨道运动）。

  由于重力本身与质量成正比，因此加速度与质量无关，也就是说所有物体在同一地点都以相同的加速度坠落。伽利略指出了重力质量和惯性质量之间的这种等效性，并通过他著名的比萨斜塔抛落物体的实验（也许只是想象）来证明。科学家们为了证明伽利略的原理，在没有空气摩擦的真空中，又重复了这个实验，结果与伽利略所说的十分吻合。为了展示给公众看，阿波罗十五号的宇航员就在月球上拍摄了一段比较锤子和羽毛下落的影片[4]，同时，科学家们也在地球上一个巨大的真空室中拍摄过类似的影片[5]。正是由于这个等效原理，卫星中的每个物体都会沿着完全相同的轨道绕地球转动，因此，在人造卫星上每个物体都会因失重而漂浮。目前，这种等效性已经得到了相对精度为10^-13（1/10万亿）的检验，预计最近发射的“显微镜”人造卫星上的检验精度将达到10^-15。而这些超高精确的测量是为了检验新的引力理论所预测的等效性原理的偏差。

3、动能和势能

  在上述自由落体的例子中，可以注意到mg(z₀-z)=m(1/2)g²t²=(1/2)mv²。这就是由动能(1/2)mv²和势能mgz组成的机械能守恒定律。当物体下落时，其动能不断增加的同时，势能也在不断减小，所以总机械能不变（没有摩擦力的情况）。对于卫星来说，机械能守恒更加适用，动能(1/2)mv²一般都为速度大小的函数，但重力势能的表达式必须修改。这种势能只取决于物体的位置，因此它在绕地转一圈后会回到相同的值，动能也会回到相同的值，这才符合行星可以无限地持续运动这一基本事实。重力势的定义是用这个重力势能除以物体的质量。这种势表征了重力场的特点，即与围绕它运行的物体本身无关（只要该物体足够小，且没有通过反作用力的作用使行星产生运动）。

  机械能守恒需要避免一种特殊形式的力：摩擦力。卫星与残余的大气层接触，与重力不同摩擦力会使机械能减少。而损失的机械能会转化为热能，从而总能量仍然是守恒的（见《能量》）。热量本质上对应的是气体分子的无序动能。对于一个均匀的球体星球来说，势能以-1/r变化，所以等势面是一个个的同心球面。但是，由于地球的自转和不均匀性，这些同心球面会发生轻微的畸变。平衡状态的海洋表面就是这种等势面（见《海洋环境》）。事实上，在等势面上运动的物体都保持着相同的势能，由于它的总能量是守恒的，所以在重力的作用下，它不能单独获得（或失去）速度。反之，如果海洋表面的形状偏离了等势面，表层的水就会倾向于流向势能较低的区域，直到填满这些区域，达到等势面的平衡状态。由于地幔的侵蚀和塑性，地球的固体表面也在接近于等势面。

4、动量

  一个质点的动量被定义为质量和速度的乘积，通过将每个质点的动量相加(矢量)，这个定义可以拓展到任何物理系统。很容易证明系统的总动量等于系统的重心（受其总质量影响的惯性中心）的总动量。牛顿运动定律则表明，动量对时间的导数等于作用于系统的合力。

  根据物理学的一个基本原理，孤立系统的动量是守恒的。换句话说，它的重心以匀速平移运动时，只有外力才能改变这个速度。另一种等效的说法是作用力与反作用力原理，它规定任意一个物体A对任意一个物体B施加力时，都会受到物体B施加的一个大小相等但方向相反的力，而且运动定律表明，这些内力不会改变整个系统A+B的动量。这就涵盖了上面所讨论的静态平衡条件。

  假设知道了初始质量m₁和m₂以及各质量的初始速度u₁和u₂，就可以计算出冲击前的动量m₁u₁+m₂u₂，根据动量守恒，就可以对冲击后的最终速度进行确定。如果我们进一步假设冲击是弹性的，即动能(1/2)m₁u₁²+(1/2)m₂u₂²守恒，则可以计算出两者的最终速度。如果m₁=m₂，就可以实现速度的交换（图5a）。再假设碰撞完全没有弹性即碰撞后相粘的请况下，质量在撞击后仍是定值，根据动量守恒，可以得到最终速度等于初始速度(m₁u₁+m₂u₂)/(m₁+m₂)的加权平均值。将这些冲击特性应用到气体分子上，就可以用来解释粘度现象，即在保持总动量守恒的前提下，使流体内部的快速和慢速区域的动量相等。

  火箭或飞机的推进是另一个经典的例子：无论涉及到何种复杂的机制，推进飞行器的动量与喷射气体的动量都一直是大小相等方向相反的。这也适用于万有引力的情形，月球吸引地球的力与地球作用在月球上的引力大小相等，方向相反。因此，地球绕地月系统的惯性中心旋转的方式与锤式发射器相同，锤式发射器必须旋转以补偿旋转球的反作用力（见《潮汐》）。这个惯性中心也说明了地球是绕着太阳旋转而不是太阳绕着地球旋转。

5、角动量

  对于一个质点来说，关于轴的角动量被定义为到轴的距离与垂直于轴的动量的乘积。这个定义可以推广到一个物体，例如一个固体，可以把它想象成由很多质点组成，固体的角动量可视作这些质点角动量之和。我们在动力学定律中证明了，动量矩对时间的导数等于作用在系统上的力的合力矩。静力学定律要求作用在系统上的力的合力矩为零。

  动量守恒定律规定，内力的力矩会相互抵消，只有外力的力矩才能改变动量。因此对于固体来说，内聚力不影响动量矩的平衡，正如它不影响动量一样。这是物理学的基本原理，与作用力与反作用力原理不同，但是互为补充。

  换句话说，如果没有外力的作用，一个系统不可能自发旋转，也不可能停止最初的旋转。但是，在收缩或膨胀的情况下，它的旋转速度可能会发生变化。事实上，对于一个质点来说，力矩一定时，速度u与到轴的距离r的乘积不变，所以速度u与距离r成反比，其角速度u/r与这个距离的平方成反比。

  滑冰运动员与自然环境中龙卷风和气旋的形成（见《龙卷风：强大的毁灭性漩涡》）都是很典型的例子。地球的自转也是由于形成地球的物质在堆积过程中角速度不断增大造成的。其次，最壮观的例子就是脉冲星（密度极高的恒星）的形成，其旋转周期为几毫秒到几秒。这些天体往往都是由一颗大型恒星的坍塌形成的，坍塌使得该恒星的半径从100万公里收缩到10公里，这种程度的收缩导致该恒星旋转的角速度不断增加，可达100亿倍，从而形成了脉冲星（部分角动量随爆炸喷出的气体一起激增）。

  实际上，角动量是一个与旋转轴平行的矢量[6]，因此它的方向和大小都是不变的。这就是陀螺仪的原理。同样，由于这个性质，地球的自转轴仍与太阳平行，北极仍指向靠近北极星的区域。

  上述性质只有在孤立系统中才会出现，更准确地说，是在不受外力或没有外扭矩（或力矩）的情况下。垂直于旋转轴的转矩会产生绕轴的旋转，而角速度不改变：这就是在陀螺上观察到的旋进现象，见图6（正如垂直于速度的加速度会产生一定速度的旋转而不改变其大小一样）。由于地球极点处的形状是扁平的，地球也会出现类似的效应：月球对地球靠近月球的部分比远离月球的部分有更强的吸引力，从而产生了一个扭矩，又由于地球自转，因此在26000年的时间里，地球在不断的缓慢前移（见图6）。几个世纪以来，极点的方向也缓慢地在天球上移动。这就造成了当地球自转轴方向与太阳方向垂直时，地球轨道上的赤道位置发生了位移，因此这种现象也被称为 “春分前移”。在寒带和温带的气候变化中，也会出现相应的太阳光变化。

 

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参考资料与说明

封面图片：维基共享http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0 (Uploaded to Flickr as jfpds regular)[CC BY-SA 2.0 (极博双板滑雪俱乐部)]。

[1] 角速度Ω是单位时间内所经过的角度，一般用弧度/s表示，所以Ω=v/r 。弧度定义为截取等于半径的圆弧的角度，所以完整的一圈(周长2πr)代表2π弧度，旋转周期为T=2π/Ω=2πr/v。

[2] 为了避免大气摩擦，高度必须达到几百公里，但重力加速度仍然接近地球表面的加速度，轨道半径与地球相差无几。

[3] 这就是恒星公转，即相对于恒星而言，而两个满月之间的时间为29.5天，是同步公转，即相对于太阳而言。

[4] 阿波罗15号的锤子和羽毛坠落—Youtube

[5] 布莱恩·考克斯参观了世界上最大的真空室—人类宇宙：第四集预览-bbc第二集—Youtube

[6] 角动量相对于原点O的定义更为精确，对于点M处的质点m，它是位矢OM与动量mu的矢量积，对于一个轴对称的固体，如陀螺或地球，动量矩与旋转轴对齐，其值与角速度和惯性矩成正比。