阿基米德的浮力和升力

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  航行于海洋的巨轮依靠阿基米德浮力（Archimedes’ thrust）来抵消重力，但是为什么他们能够如此稳定，即使在波涛汹涌的海面上也不会侧翻？相比之下，比空气重得多的鸟类、飞机和滑翔机在飞行时似乎表现得格外出色，比如封面图片中翱翔的雄鹰，它们的运动产生了一种能够抵消自身重量的力，称为升力（Lift）。

1. 对重力和阿基米德的浮力的回顾

  一块石头，一旦被释放，就会因为重力落到地面。当它在地面上的支撑物给它提供一个与重力刚好相反的力时，下落才会停止，这个力被称为支撑物对石头的反作用力（Reaction）。于是石头又恢复了受力平衡。

  浸没在流体(例如空气、水)中的物体，它的表面会受到压强作用，在静止的状态下，压强的总效应刚好和被排开的流体的重力等大，方向却相反，被称为阿基米德浮力（Archimedes’ thrust）[1]。在空气中释放石头的例子里，由于空气的密度只有石头的约1/3000，空气提供的浮力远比石头的重力要小。因此，根据基本的动力学原理，被释放的石头会很快地加速。另一方面，气球则比石头下落得慢，如果充入诸如氦气（Helium）、氢气（Hydrogen）这类比空气轻的气体，甚至还会上升。石头在水中也会下沉，但比在空中下落要慢得多。在石头下沉之初，石头下落比空气中慢，主要是因为石头与水的密度只相差3倍，尽管阿基米德浮力仍无法抵消重力，但两者的差别已经没有空气中那么大了。随后，当石头下落速度显著时，石头还会受到水的阻碍作用，这种阻碍被称为流体阻力（Drag），它大到足以让石头停止加速，并限制了石头的最大下落速度。

2. 舰艇和潜水艇的稳定

  潜艇和舰船可以在自身重力和阿基米德浮力之间保持平衡。但是这种浮力在波涛汹涌的海洋中是平衡的吗？让我们只考虑一种最危险的扰动——翻转，并且为了避开自由面，我们不妨想象潜艇处于下潜状态。潜艇可以简化为筒状，它的横截面形状接近椭圆，如图1所示。被潜艇排开的流体的重心在点C[2]，它被称为浮心（Centre of Thrust），是阿基米德浮力的作用点。而潜艇同样有个重心（Centre of Gravity）在点G，是潜艇重力的作用点，点G的位置取决于潜艇内的质量分布，因此潜艇重心的位置是可以改变的。首先如图1 a)，在平衡状态下，点C和点G在同一条垂线上的；然后让我们想象潜艇发生一个微小的倾斜，如图1 b)所示，如果G在C下面，这对平行但不在一条线上的力产生的力矩将会倾向于让潜艇回到稳态。如果G在C的上面，如图1 c)，力矩将会倾向于让潜艇更快地倾斜。因此让潜艇稳定的条件就很清楚了：给潜艇配重时，必须确保G在C的下面，这是个相对困难的要求。

  对于同时浸没在空气和水两种流体中的舰船来说，情况则有些不同。有人可能会认为空气并不重要，因为它的重量只有水的千分之一。事实上空气产生的浮力相对于水来说确实可以忽略，但是完全忽视空气也并不可取，因为它通过自由面起作用。船在水下的部分由船体本身和被排开水的自由面决定，被称为浮面（Flotation Surface），被浸没的船体和浮面共同决定了浸没体积（Submerged Volume）。我们把阿基米德浮力分为两部分，一部分作用于左舷侧（Port Side），另一部分作用于右舷侧（Starboard）。船只的任何倾斜都会打破两者的对称性，让浮力的方向趋向于恢复船只平衡，这就是船和潜艇的不同之处。

  对于给定的浸没体积和重量，水线面区域应当或多或少地宽一些。当水线面不是很宽时，比如一条细长的独木舟，当发生倾斜时，该面的所有点都很接近对称轴，造成力臂很短，船体表面的压力产生的回复力矩在倾斜过程中改变不大。相反，当水线面很宽，如图2所示，回复力矩则可以变得非常大，因为船体在向下倾斜吃水一侧（图中对称轴右侧）有了大幅度的浮力增加，而另一侧的浮力减小。换句话说，浮心大幅度向着船体倾斜的方向大幅转移，导致回复力矩的力臂变大了。

  船只的这种特点使我们不得不引入横稳心M，它位于浮心所在垂线向上I/V的距离处，其中I表示船只水线面相对于其对称轴距离的二阶矩[3]，且M在潜艇的模型里没有对应的概念。当船只发生微小的倾斜，横稳心M将保持固定不动，点C将沿着M为圆心、I/V为半径的圆弧移动，如果希望船能自发恢复平衡态，则需要满足条件：重心G在横稳心M而不是浮心C的下方。这个与潜艇不同的条件很重要：船在重心G高于浮心C时仍然可以保持稳定，只要横稳心足够高。在其他条件相同时，水线面宽度l足够大，船只就越稳定。

  为了确保船体的稳定性，其中一种增大横稳心半径（Metacentric Radius）I/V的途径是采用双体（Double Hull）结构，两船体都远离对称轴。这样一来，由于大部分水线面都远离对称轴，稳心半径就可以变得很大，这就是双体船（Catamaran）的原理。三体船（Trimaran）在对称轴周围有相当大的主船体，用来携带桅杆、帆和缆绳等航海设备，同时也是船员们的避难所，两侧各有相隔一定距离的轻型辅助船体。在平衡状态时，只有主船部分吃水，若存在适度的倾斜就会让其中一侧的辅助船体与水面接触，从而获得额外的支撑，进而保持整体的稳定。由于辅助船体提供的浮力力臂很长，所以产生的回复力矩可以很大。因此三体船具有了在很严重倾斜下保持稳定的优点，是单体船和双体船的折衷方案。

3. 用压强差解释飞行器的升力

  诸如飞机、滑翔机这样的飞行物比空气重得多，它们受到的阿基米德浮力相比它们的重量可以忽略，它们又是如何工作的呢？使它们起飞并在一个固定高度飞行的力被称为升力（Lift），它同样也是压强作用在物体表面的结果。第一个新奇的地方在于这些飞行物的速度：飞机不能机场停泊的时候直接起飞[4]，只有在向前推进并达到一定速度后才能起飞。

  为了理解升力的来源，我们首先考虑一种极端简化的模型，一根很薄且具有无限翼展的对称机翼。它以速度V飞行的问题则变成了二维问题，如图3 a)所示。想象一个在飞机上的观测者，他相对机翼静止，看到外面的气流以速度V从前方流过。在机翼迎角为0时，从机翼上方通过的气流和下方通过的气流是等量的，机翼的上下表面的气压也是相等的，从而垂直方向上两者的合力为0：机翼没有受到任何升力。

  另一方面如图3 b)，当机翼的迎角不为0，对称性被打破，流线在机翼上方的密集程度高于机翼下方。由于两条流线之间的气体流量是恒定的，因此当流线变密集，气流速度也会变快。因此机翼下表面的空气流速比上表面要慢。然而，气流流经机翼头部时，必定受到机翼头部的阻碍作用而减速。这种阻碍由机翼下表面产生的高压（Overpressure）提供，它减慢了局部空气的流速，这样的结果是机翼下表面的压强超过了上表面，这种压强差的总体效应表现为不为0的垂直方向的力。机翼因此受到了一个与风速和迎角有关升力[5]。

  在实际起飞的过程中，机翼的迎角是由飞行员进行调整的，在飞行器达到了足够大的速度后，飞行员将后缘襟翼（Rear Flap, Aft Flap）调低从而使飞机起飞。尽管这并不会改变整个机翼的迎角，但飞行员这么做同样可以打破机翼上下表面的对称性，正是它提供了能够克服重力的升力。相反地，为了在降落前减小飞行高度，需要减小升力甚至是提供负的升力时，飞行员会通过抬升后缘襟翼来减小迎角。对于鸟类来说，它们会通过肌肉控制来增加迎角并产生升力。

  机翼本身是有一定厚度的，这一事实会削弱上述机制的效果，但并不影响其基本原理。在航空领域，我们经常用机翼的细长比（Fineness of a Wing）来描述它的薄厚，船帆就是一个很好的薄翼的例子。船帆被风吹鼓而产生弯曲，这种弯曲不但增加了其不对称性，也打破了压强平衡，相当于在水平方向上产生了升力，它会藉由桅杆作用到船上。风作用于船帆上的升力和水作用于舵（另一个薄翼）以及可能作用于船身（第三个薄翼）上升力相结合，甚至可以让帆船逆风航行。赛车上安置的后扰板被设计成产生负升力（指向地面）的结构，增大了赛车与地面的接触力，以增加车辆的可操控性。

4. 用环量解释升力

  除了用压强差来解释升力外，还有一种等价的解释，即环量升力理论。为了引入这个概念，并说明厚度不起主要作用，我们首先考虑一个横向放置在从左侧流来的气流中的无限长圆柱，图4给出了纵剖面的流动。在a) 的情况下，圆柱上下表面的流动是完全对称的，压强的合力为0，也没有升力。而对于情况b)，圆柱体开始绕其中心轴旋转，原本在圆柱两端相对的两个风速为0的点(驻点)同时向下移动，通过圆柱下方的流线发散，局部的压强增大。在圆柱的上表面则恰恰相反，流线变密集，局部速度变大，压强减小。于是，作用在整个圆柱表面的压强总效应就产生了一个与圆柱旋转有关的环量[6]以及来流（Far Flow）速率成正比的升力。图4中的这一旋转圆柱的概念曾被应用于设计推动船只前进的旋转桅杆，但这一应用因为强风天气下收起旋转桅杆比减少船帆面积难得多而受阻。

  现在想象一下并非整个圆柱，而是只有贴在表面的一层蒙皮在旋转。对于周围流动的流体来说，它只能感受到圆柱表面旋转的蒙皮，因此得到的升力也是一样的。因此，只要气流中的圆柱具有旋转的表面，它就能感受到升力，升力的方向取决于表面旋转的方向。

  但是飞行器的机翼不可能在表面包裹一层会动的蒙皮。事实上，并非机翼或者圆柱体表面上附着点的速度起作用，起作用的是机翼表面一薄层外的流体速度，我们把这一薄层称为边界层（Boundary Layer）。这个边界层如图5虚线所示，不过为了能够看清它，我们将它的厚度画得较为夸张。它从机翼的前缘开始沿着机翼的上下表面延伸，厚度逐渐变厚，在机翼后缘（Trailing Edge）汇聚，形成机翼尾迹（Wing Wake），由于迎角的存在，边界层没有对称性。举个例子，如果机翼的前缘到后缘大约1m长，风速为100 m/s，即360 km/h，尽管边界层在机翼后缘处厚度达到最大，其厚度也不足1 mm。由于非对称性，对机翼边界层外边界做速度积分得到的环量并不为0[7]，边界层就好比机翼表面附着的一层旋转运动的蒙皮一样。

  因此，在飞机起飞过程中，机翼表面附着的旋涡是必不可少的。然而，旋涡在起飞前是不存在的，它在很短时间建立起来并维持强度不变，这个时间要比粘性扩散的特征时间短得多。另一个反向且强度一致的旋涡也同时生成了，但这个旋涡并没有跟着飞机运动而是留在了起飞前的位置，名为起动涡。

5. 有限翼展的升力

  我们离彻底理解升力产生的机制还差一步，即考虑真实机翼的有限翼展。图6定性地展示了机翼周围的旋涡分布。流体在下翼面减速而形成的高压区主要发生在机翼的中段，在机翼的两端逐渐消失。在机翼的上表面也发生了类似的现象，但不是高压而是低压。这种效应沿着翼展变化，在机翼中段最明显，越靠近机翼尖端，效应越弱。机翼下表面巨大的高压把空气推向两端，而机翼上表面的低压有从两端向中间吸气的趋势。这说明在翼展的方向上，机翼下表面和上表面气流的横向速度是有差别的。这种横向的流动在机翼两端分别产生了蜷曲的旋涡(图6)，形成了两个翼尖涡（Tip Vortex）。这种结构与起飞时留下的起动涡、在机翼表面附着的旋涡构成了一个长而封闭的涡管。

  在图7左边的照片中，由于机翼下方的云层被翼尖涡卷起，使得涡流清晰可见。要知道这些涡流的半径和单边机翼的长度是同一个数量级的。图7右边的滑翔机，两条很细的云雾在机翼两端出现[8]，它们只发生在翼尖涡中心部分，靠近轴心，那里由于离心力产生的低压足以让空气中的水蒸气凝结。事实上，在上述条件下，湿度高到接近饱和的空气，因局部的绝热膨胀而冷却(参考热力学)，这就是导致水蒸气凝结的原因。

  如图8所示，候鸟群呈V形列队飞行的原因是，除领头的候鸟外，其他所有候鸟都处于前一只的翼尖涡的上升气流中，这样就部分地节省了它们为维持高度而耗费的能量。因此，任何物体或动物（飞机、滑翔机、鸟或船帆）受到的升力都与这种涡结构有关，即封闭的管状结构。这个结构在飞行过程中规则的延伸，它的强度与升力有关，它的能量则由飞行物自身提供。

  大型猛禽在滑翔的时候（如封面图片）非常省力。很宽翼展和翅膀结构使他们可以显著地减少翅膀拍动的次数。滑翔机（如图7和图9）没有引擎，因此无法主动起飞，需要先由其他飞行器牵引到一定高度，然后与飞行器分离，飞行员会驾驶滑翔机寻找上升热气流，从而把他们带得更高，或至少保持他们当前的高度。它们自身的速度和迎角的确可以给它们提供升力，但它们也受到局部垂直和水平方向气流的驱动。

  球和气球都是小型飞行物的例子。考虑到环量升力，就可以解释它们有时出乎意料的运动轨迹，比如网球或乒乓球的轨迹或多或少会因为击球方式而弯曲。如果球拍从球上表面擦过，球的轨迹是强烈向上弯曲的，这个球被称为上旋球；当球拍从下方擦过球时，则被称为下旋球。另一个例子是香蕉球，即足球在水平方向上轨迹的弯曲，运动员能够从角球点直接把球射进球门。

  水翼船是一种速度超过一定限制时能够浮出水面的船（如图10），这要归功于在水下相对较薄的水翼施加的升力。水翼位于船体下方，通过支柱与船体相接。通常，一套水翼不仅可提供升力，还可以增强水翼船的稳定性。水翼最大的优势是通过最小化迎风面[9]来减少阻力。我们将通过阅读拓展文章(阻力)得知，阻力正比于迎风面积与速度的平方之乘积。若整个船体和水翼的迎风面积为4.5 m²，当水翼船被水翼托举出水面后，迎风面积减少到水翼的0.5m²，就意味着阻力减小到原来的1/9。因此，由于阻力正比于这个迎风面积和速度的平方之乘积，水翼船的航速将会比相同条件下没有水翼的船体航速大3倍。

 

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参考资料及说明

封面图片：一只滑翔飞行的秃鹫展示了升力和重力的平衡. [Source: Diverticimes]

[1] 阿基米德，大约公元前287年出生于西西里岛叙拉古，公元前212年在古罗马军队围城期间被杀，他是古希腊伟大的科学家。他的主要发现包括静力学和流体静力学。

[2] 对于均质介质，重心就是质心。同样的，也可以定义二维下的重心。

[3] 任何平面都存在通过重心的两个正交的主轴。在船舶水线面上，它是从船头到船尾的对称轴和与其垂直的轴。相对于每一根轴，面积的二阶矩积分被称为转动惯量。对于长L、宽l的矩形，相对于长轴的二阶矩为Ll³/12。对于水面的船只，如果船体的体积约为Llh，其中h与吃水深度成比例，横稳心半径表示为MC = l²/(12 h)。

[4] 直升机、鸟类和昆虫的飞行是由于它们的桨叶或翅膀的运动，前者的旋转，后者的快速挥拍，这区别于飞机的固定式机翼。一些战斗机的垂直起飞是依靠发动机的垂直喷流推进的。

[5] 这个升力理论由德国流体力学家马丁∙威廉∙库塔 (1867-1944)和俄国流体力学家尼古拉∙茹科夫斯基(1847-1921)提出，用库塔-茹科夫斯基公式表示：: P = ρVΓ, ρ是流体的密度，V是机翼运动速度，Γ是机翼表面的速度环量.

[6] 旋涡强度指通过给定面的涡量通量，大小等于等于速度环量，也记为Γ.

[7] 机翼表面边界层外的速度沿着机翼轮廓线积分，该闭合曲线上的速度环量Γ等于旋涡强度。

[8] 值得注意的是，不要把这两根长长的云雾(显示翼尖涡的涡核)与喷气式飞机尾流中的尾迹混淆起来。后者是由于燃烧产生的大量水蒸气经喷管喷出后冷凝而成的。喷气式飞机的这个特征总是可见的，即使是在高空和干燥的空气中。

[9] 在海洋专业中，垂直于船体主轴的任何截面都称为迎风面，其中最大的称为主迎风面。