2021年诺贝尔奖得主乔治•帕里西对统计物理学的贡献

  三位获奖者因对复杂现象的研究分享了2021年诺贝尔物理学奖。真锅淑郎和克劳斯•哈塞尔曼为我们了解地球气候以及人类对气候的影响奠定了基础。第三位获奖者乔治•帕里西因其对无序和随机现象理论所作出的革命性贡献而获得该奖。这篇文章的作者罗伯特本齐(Roberto Benzi)和乌里尔·弗里希(Uriel Frisch)是乔治•帕里西的亲密合作者和朋友,他们分别参与了乔治•帕里西的两项主要贡献,他们对这些贡献提出了自己的见解。罗伯特本齐解释了帕里西与其合作者对温带气候向冰期气候过渡的概念性理解的贡献。乌里尔·弗里希讨论了关于湍流的动力学及其 “分形 “的扩散——一个最古老却从未解决的科学问题。其他两位获奖者的贡献将在另一篇文章中的 “气候 “标题下介绍。

1. 对复杂系统理解作出突破性贡献获得诺贝尔奖

  虽然政府间气候变化专门委员会(IPCC)在2007年获得了诺贝尔和平奖,但气候科学却在2021年首次获得了诺贝尔物理学奖。这门科学依靠的是经典的流体力学和热力学过程,显然不属于当前的物理学前沿。然而,困难在于,这些过程的复杂互动发生在时空的巨大范围内

  在这三位获奖者中,真锅淑郎(Syukoro Manabe)和克劳斯•哈塞尔曼(Klaus Hasselmann)创建了当前气候模型的建模方法(阅读 “诺贝尔奖得主2021克劳斯•哈塞尔曼(Klaus Hasselmann)和真锅淑郎(Syukoro Manabe)对气候科学的贡献”)。在非常有限的计算机能力的助力之下,创建这样的建模来评估主导效应,需要对物理的深刻理解。一个更为根本的限制源于系统的不稳定,例如,即便用现在最强大的计算机,也很难准确预报天气。然而,这样的混沌行为却导致了气候研究所要求的长时间尺度上定义明确的统计数据。这是统计物理学(statistical physics的领域,乔治•帕里西(Giorgio Parisi )在这一研究领域做出了一些重要贡献。

  统计物理学的发展起初是为了从第一原理中推导出物质的特性。路德维希•玻尔兹曼(Ludwig Boltzmann )澄清了熵的概念,作出了开创性贡献。之后,阿尔伯特•爱因斯坦(Albert Einstein)和保罗•朗格文(Paul Langevin )量化了在随机分子碰撞的作用下胶体粒子的布朗运动。克劳斯•哈塞尔曼(Klaus Hasselmann)将类似的方法应用于气候系统,在这个系统中,快速天气波动取代了分子碰撞。乔治•帕里西及其同事分析了这种波动如何触发两个稳定状态之间的转换,这在第2节中讨论。

  第3节讨论一个不同的主题,即湍流的老问题,也就是不同规模的涡流之间的复杂互动。一个多世纪以来,这个问题一直困扰着物理学和数学。乔治•帕里西提出了多分形的概念来解释实验数据。

  请注意,这两个课题并不是乔治•帕里西获得诺贝尔奖的唯一贡献。他最著名的工作是无序磁系统理论,瑞典皇家学院的官方报告[1]对此作了解释。他的诸多贡献为理解复杂系统的提供了洞见,不仅影响了物理学,也影响了数学、生物学、神经科学和机器学习领域。在他亲和、激励式的领导下,这种影响也使他的学生和同事受益。

2. 随机共振和间冰期(作者:罗伯特•本齐)

  分析格陵兰岛和南极洲的冰层成分的科学家提供了很好的证据,在过去的一百万年左右,地球气候经历了冰川期和间冰期,周期性约为10万年,温差约为10度。如何解释所观察的气候行为的准周期性交替是个难题(阅读 “气候的天文理论:漫长的历史”)。

环境百科全书-诺贝尔奖-地球能量收支
图1. 地球能量收支的示意图。地球接受太阳辐射(Rin),辐射量可以从地球与太阳的距离中准确计算出来。大部分太阳辐射被地球地面吸收,部分被冰和云反射回来(Rout)。地球由于其温度而发出红外辐射,这在静止状态下平衡了太阳辐射和反射Rin-Rout。[图源:作者]

  为了解决这个问题,可以考虑最简单的气候模型,该模型涉及地球表面能量收支(见图1)。太阳提供入射辐射(Rin),部分被地球表面(冰、云和其他表面效应)反射(Rout)到空间。净入射辐射Rin-Rout使地球表面变暖,发出红外辐射。知道了净入射辐射,就可以利用关于辐射排放如何取决于温度的知识来估算地面温度(在全球范围内)。在静止状态下,这种红外辐射正好平衡了净入射辐射Rin-Rout。这样就提供了一个相当好的地球平均全球温度的估算,对应于目前的间冰期,大约为15摄氏度(阅读 “地球的平均温度”)。

  尽管出射的红外辐射被大气中的温室气体部分吸收,但净发射量是温度的一个增加函数,接近于T4中的黑体表达式(阅读 “黑体的热辐射”)。这在图2中被勾画成T的线性函数。至于反射辐射,它在很大程度上取决于雪的覆盖面积,雪比地面和自由流动的水更有效地反射光线。因此,入射通量Rin-Rout也随着温度的升高而增加。正如布迪科(Budyko[2]和赛勒斯(Sellers所示,随着北美和欧亚大陆上的大冰盖的融化,这种增长是相当急剧的。这导致了图2中的黑色曲线。

  静止状态对应于两条曲线的三个交叉点。然而,中间点代表一个不稳定的状态:离开这个静止点的温度小幅上升确实会导致入射辐射Rin-Rout过量,导致温度进一步上升,直到系统到达温暖的稳定点。同样,温度的轻微下降也会被放大,导致代表冰川气候的寒冷稳定点。因此,这个模型为两种稳定状态提供了一个简单的概念解释。在最初的布迪科-赛勒斯(Budyko-Sellers)模型中,冰川状态是指冰雪覆盖的地球。它对应的是极低的温度,在过去一百万年的古气候记录中从未观察到。

环境百科全书-诺贝尔奖-本齐等人的辐射平衡模型
图2. 本齐等人的辐射平衡模型简图,灵感来自布迪科—赛勒斯的模型。黑线表示净入射辐射(Rin-Rout),红线是红外辐射。两条曲线在三个点上相遇:两个点(绿色)代表稳定的气候状态,而中间的灰色点是不稳定的状态。在专注于较温暖状态的右侧面板中,太阳辐射的米兰科维奇变化由虚线显示:平均气候状态变得更冷0.2度。[图源:作者]

  20世纪20年代末,塞尔维亚地球物理学家米卢廷米兰科维奇(Milutin Milanković对地球围绕太阳的轨道变化进行了精确而繁琐的计算。他发现,由于偏心率的变化,全球的入射辐射正以大约10万年的周期变化。后来约翰英博瑞(John Imbrie和其他人发现,米兰科维奇计算的太阳辐射入射的振荡,几乎与冰川期—间冰期振荡期间的地球古气候温度相一致。

  乍一看,人们可能认为米兰科维奇周期能够解释古气候记录中观察到的几乎是周期性的行为。然而,有一个困惑了科学家们几十年的重大问题:米兰科维奇的太阳入射辐射的波动极其微弱,只有0.1%的数量级。这种微小的入射辐射Rin-Rout调制将导致大约0.2度的温度调节,比记录中的冰川期和间冰期的温差要小得多。

  80年代初,乔治帕里西和同事提出一种新的理论方法来解决这一难题[3],其出发点也是先前考虑的地表能量收支。通过观察气候记录和环流数值模型,他们发现由于气候的内部及非线性动力学,地球平均温度每年都在波动。关键是要将这些波动视为“噪声”,而且是嵌入气候系统的“内部噪声”。在此基础上, 帕里西和同事发现如果存在两种温差约为10度的气候状态,那么由于内部气候波动,地球气候会呈现出从一种状态到另一种的随机漂移。如果两种状态与观测到的冰期和间冰期相对应,那么这种漂移平均每5万年会随机发生一次。这与典型的5万年转换间隔相吻合,但是没有古气候记录中观测到的真实周期性

  这两种状态的存在也可以理解为地表反射的变化是温度的函数:不难想象,随着温度降低,气候系统中冰量和云量增加,达到平衡气候状态。

环境百科全书-诺贝尔奖-帕里西和同事使用随机共振机制搭建的模型
图3. 帕里西和同事使用随机共振机制搭建的模型,模拟温度的时间表现。「图源:作者」

  最后一步是考虑米兰科维奇循环对该系统的影响。在此他们发现了现今的随机共振机制(the mechanism of stochastic resonance:即便很小,米兰科维奇循环也能够改变从当前的间冰期气候向冰期状态转换的概率。这些转换几乎在与米兰科维奇循环同步发生。事实上,转换的概率随着到不稳定中间态的距离呈指数递减,因此米兰科维奇循环将这一距离少量缩减,就足以有力推动转换。图3为本齐(Benzi)、 帕里西、 苏特拉(Sutera )和 伍尔皮亚尼(Vulpiani)原文[3]模型中的温度表现。

  除了两种气候状态(冰期和间冰期)的存在这一重要观点之外,帕里西及同事提出的理论还基于两个基本概念:长时间尺度上的噪声效应(noise effects以及噪声-强迫协同效应(noise-forcing cooperation

  气候理论中,噪声首次被看作长时间尺度上气候变化的驱动机制。在气候中,我们所说的噪声是指小尺度非线性气候变量对所谓的“粗粒度”变量(如地球全球温度)的影响。如今,定义明确的量化例子让我们能够谈论噪声,尽管这个词本身可能产生误导。噪声的影响使任何系统围绕某个稳定状态(如果存在)进行波动。然而,如果系统是非线性的,且存在多个稳定状态,噪声则能够以指数小概率将系统从一个状态向另一个状态驱动。尽管概率较小,在较长的时间尺度上,如在气候中,人们应能观测到状态之间的随机(非周期)转换。

  第二点,即噪声和外部强迫的协同效应,不仅在气候学家中,在物理学上也是全新的:没有人考虑过这种可能性。帕里西及同事的论文[3]首次表明,这种协同可能发生在地球气候这样的非线性系统中。后来,这种协同效应被应用于混沌系统[4],现今,随机共振机制在物理学、生物学和其他科学研究中的应用已数以千计。

3. 湍流的多重分形模型(乌里尔·弗里希)

环境百科全书-诺贝尔奖-列奥纳多·达·芬奇的湍流速写
图4. 列奥纳多·达·芬奇的湍流速写,展现不同尺度漩涡之间的相互作用 (图源https://www.oist.jp/photo/eddies-turbulent-pool-sketch-15th-century-leonardo-da-vinci)

  在罗马时代,卢克莱修(Lucretius)就已经对空气或水中类似的湍流运动产生了兴趣。16世纪初,列奥纳多·达·芬奇(Leonardo da Vinci)研究了河流中漩涡的衰变,如图4所示。这些都表明,湍流是最古老的科学未解难题之一。

  我们从与乔治·帕里西的研究直接相关的最古老的贡献开始,即A.N. 柯尔莫果洛夫(A.N. Kolmogorov, 1941) [5]的研究,简称K41。该研究以“完全湍流”为对象,指漩涡可以在很大尺度范围内自由相互作用。通过相互作用,将能量传递给小的漩涡,它们受粘性阻尼影响。这种所谓的能量级联(energy cascade存在风险,例如在湍流阻力的过程中(参见《运动物体所受的阻力》)。通过级联过程,最大尺度上的特定流量受到湍流相互作用的干扰。柯尔莫果洛夫随后发现,若忽略全部的粘性因素,可以得出一个动力学方程,其中越来越小的漩涡在统计意义上与控制更大的漩涡相似。当粘度趋于0时,相似性水平由有限的能量耗散率决定。这一自相似图像(见图5a)取得了惊人的成功。

环境百科全书-诺贝尔奖-级联
图5. 左:柯尔莫果洛夫(1941)研究的从大漩涡到小漩涡的级联,空间尺度形成带乘数r的几何级数。右:弗里希 (Frisch)、 苏莱姆(Sulem)、内尔金( Nelkin) (1978)提出的分形模型中的间歇级联

  尽管柯尔莫哥洛夫首先是个数学家,而且是20世纪最伟大的数学家之一,他仍希望使用从莫斯科实验室(Moscow laboratory)及周边收集到的实验数据证实他的理论。这些研究有力地证明,湍流与上述自相似图像相去甚远:小漩涡比大漩涡填充的空间少得多,并呈现出间歇性(intermittency(见图5b)。因此,柯尔莫哥洛夫与合作者在1961年提出了间歇性模型[6]

  G.K.巴切勒(G.K. BatchelorA.A.汤森(A.A. Townsend(1949) [7]也发现了间歇现象,引出了这一现象是否与K41的自相似图像一致的问题。为描述柯尔莫哥洛夫的间歇性,B.曼德尔布罗特B. Mandelbrot,1974 [8]提出使用“分形(fractal)”模型。分形是通过在越来越小的尺度上迭代插入相似形而得到的几何体。自19世纪末起,数学家们就引入了这一概念。1950年,湍流和大气动力学研究的另一巨匠L.F.理查森L.F. Richardson在完全不同的背景下使用了分形,研究如何避免国家之间的冲突。国家之间错综复杂的边界看起来确实比直线的边界更容易引发冲突。

环境百科全书-诺贝尔奖-多重分形信号示例
图6. 多重分形信号示例,分别为湍流(上)和金融市场(下)。通过曲线上间隔不同的两点间的差值直方图来分析信号。对湍流来说,分隔通过柯尔莫果洛夫尺度(最小漩涡的大小)的倍数来表示。金融市场(此处为两种货币之间的汇率)中,时间间隔则以小时表示。(直方图取自S. Ghashghaie, W. Breymannt, J. Peinke, P. Talkner &Y. Dodgell (1996), Nature 381)

  回到湍流,速度探针穿过湍流场,会产生典型的“噪声”切口,如图6(上)所示。类似的噪声信号在很多复杂系统中都会遇到,如图6(下)所示的金融市场。它们让数学家着迷,因为它们是全部粗糙的(斜率未被定义)。

  要掌握信号的多尺度结构,一种自然方法就是研究相隔给定距离Δr的两点之间的速度差Δv。方差(|Δv|2的平均值)表示能量在不同尺度间的分配[9]。然而,这并非全部:这一方法没有将稀有且强烈的涡旋与具有相同全球能量的空间填充涡旋区分开来(相关信息请参见图6右手边所示的概率分布直方图)。这些直方图的长“尾巴”代表稀有及强烈涡旋。随着间距Δr的减小,这些涡旋变得更强,说明小涡旋很稀疏。这就是间歇性的本质。通过考虑时间间隔Δt而不是距离,可以对任何时间序列进行类似的分析,如图6所示的关于金融市场的分析。图中尾部表示在给定的时间间隔内大幅下降或上升的概率,这与风险管理直接相关。

  再回到湍流的问题上,这些尾巴可以通过考虑|Δv|p(p阶矩)的平均值来评估。它们对大的波动确实越来越敏感,因为它们的p阶越高。它们对间距Δr的依赖,称为结构函数,因此具有间歇性的特征。在K41描述的真正自相似级联中,p阶结构函数表现为幂律Δrp/3(图7)。实验表明,指数ζ(p)小于p/3的幂律|Δr|ζ(p):在小间距Δr的极限下,高矩相对较强,从而量化了间歇性。

  柯尔莫果洛夫(Kolmogorov)在1961年提出的模型更接近实验结果,但它导致大指数p的ζ(p)值减小,这数学上是不一致的。因此,以弗里希(Frisch)、苏莱姆(Sulem)、内尔金( Nelkin)(1978)[10]为代表等科学家引入了与湍流动力学方程有一定联系的分形模型,作为替代。该模型使得ζ(p)和p线性增加,且斜率小于1/3。斜率依赖于单一参数,如分形维数,从而量化了活动涡在越来越小的尺度上是如何变得越来越稀疏的。然而,实验结果却是图7中所呈现的一个凸曲线。

环境百科全书-诺贝尔奖-结构函数
图7 柯尔莫果洛夫将“结构函数”Sp(Δr)的标度指数ζ(p)定义为在距离Δr(沿Δr方向投影)上速度增量的p阶(统计)矩。这里假定湍流是等方的(旋转不变)和均匀的(平移不变)。结构函数Sp(Δr),大致是一个幂律|Δr|ζ(p)。K41是第一个柯尔莫果洛夫理论,其中Sp(Δr)与|Δr|p/3成正比。β模型显示了弗里希-苏莱姆-内尔金(Frisch-Sulem-Nelkin)(1978)的结果,其具有单一的分形维数。黑色三角形是安索梅(Anselmet)等人(1984)的实验数据。这些数据现在仍然是多重分形模型的基准。对数正态模型(K61)为间歇性提供了第一种方法,但对于大指数p来说,ζ(p)的减少与数学上的情况是不一致的。

  1983年夏天,乔治·帕里西和乌里尔·弗里希参加了意大利瓦伦纳的暑期班,主题是“地球物理流体动力学和气候动力学中的湍流和可预测性”。F. Anselmet, Y. Gagne, E.J. Hopfinger, R.A. Antonia的实验数据[11]几乎不能与单个分形兼容(如图7所示)。乔治·帕里西凭着非凡的物理直觉,提出了一个多重分形模型来对其进行解释。这种一致性依赖于拟合参数,但背后的分析揭示了深刻的数学属性。

  这种具有不止一个、甚至是无限多个分形维数的想法源于一个非常困难的主题:评估大风险或金融破产。瑞典数学家哈拉尔德·克拉梅尔(H.Cramér)(1938)[12]有着金融相关的背景,他在这方面做出了一些开创性的工作。在克拉梅尔的研究之前,普遍观点认为,通过增加n个独立的、等分布的随机变量,就可以(在适当的条件下)得到两个主要性质:平均值将趋向于平均值(大数定律);将离均差除以n1/2,结果将趋向于高斯定律(中心极限定理)。

  但是,当我们将变量相乘而不是相加时(或者当我们将变量相加并取加和的指数时),会得到什么结果呢?计算结果呈现了岩石粉碎中所发生的情况,这是柯尔莫果洛夫 [13]在克拉梅尔的结果为人所熟知之前就已经开始研究的一个问题。给定晶粒尺寸的概率实际上是连续独立破碎事件概率的乘积。因此,获得高斯极限是例外。所有这些问题都涉及一个叫做大偏差函数的奇怪函数,它与大数定律存在偏差。函数的名称根据其具体使用的场景也有所不同:可以被称为“速率函数”、“克拉梅尔函数”或“熵”。是的,玻尔兹曼熵(Boltzmann entropy)只是一个特例;除了玻尔兹他自己,其他人要如果在没有任何先进的概率论支持之下能理解熵,是非常了不起的。

  以下是一些关于多重分形的主要参考文献。最初涉及多重分形的文献实际上是帕里西和弗里希对弗里希发表在1983年瓦伦纳会议记录上的一篇论文的2.5页附录[14]。之后,本齐,帕拉丁(Paladin),帕里西和武尔皮亚尼(Vulpiani)写了一篇更详细的论文[15]。论文在之前的研究基础之上有了进一步扩展,包括了混沌动力系统中从充分发展的湍流到奇异吸引子。八十年代这些论文的主要论点是利用勒让德变换,这是统计热力学中定义时出现的同样变换,但没有提到克拉梅尔的大偏差。在弗里希(1995)[16]在他的专著中对大偏差进行了基本的介绍。最后,伊夫·梅耶尔(Yves Meyer)(2021)[17]在网上发表了一篇文章,原本是为数学家所撰写的,但没有高级数学知识的人也可以阅读。

环境百科全书-诺贝尔奖-湍流和多重分形
图8 从乔纳森·斯威夫特(Jonathan Swift)的跳蚤级联到湍流和多重分形。[来源:作者]

  回想一下,路易斯·弗莱·理查德森(L.F. Richardson)在20世纪20年代就已经意识到分形,当时他引入了湍流中的级联。L.F. ·理查德森借用了乔纳森·斯威夫特(Jonathan Swift)写的一首诗,这首诗在图8中与杰雷米·贝克(Jérémie Bec)的插图一起呈现给大家。除非左跳蚤和右跳蚤之间的头到头的距离变得更小,否则跳蚤模型显然是分形的(而且很容易多重分形)。正如伯努瓦·曼德布罗特(Benoit Mandelbrot)所指出的,分形在自然现象中是相当普遍的,这是我们所希望看到的结果。曼德布罗特反对那些把一切都弄得直截了当的人。

  最后,我们要强调一个悖论。湍流测量越来越精确,推动着多重分形分析的发展。关于模型方程中出现的多重分形奇点,有一些切实可靠的定理[18]。然而,我们还找不到一个已经被证明的定理,可适用于描述三维强湍流的Navier-Stokes方程。尽管存在不稳定的数学基础,多重分形分析现在通常被用来定量分析环境中观察到的各种复杂的混沌或湍流现象,如气候时间记录、阵风、云形状、太阳风。

4. 要点 

  • 乔治·帕里西(Giorgio Parisi)对统计物理学做出卓越的贡献,取得重大进展,而被授予2021年诺贝尔物理学奖。
  • 在他所做出的贡献中,有两项与气候和环境流有关,即“随机共振”和“多重分形”概念;
  • 随机共振是噪声和外部周期性强迫的共同作用,它可以导致两个稳定态之间近乎周期性的切换。它最初是作为近百万年古气候记录的概念模型提出的,但后来在物理、生物学和其他科学领域有许多应用;
  • 多重分形被用来来描述湍流中观察到的多尺度结构。多重分形这一概念被证明与其他混沌系统有很深的关联,它也带来了随机过程数学分析的进步。

 


参考资料及说明

封面照片:诺贝尔物理学奖三位获奖者,从左到右,真锅淑郎(Syukuro Manabe)和乔治·帕里西(Giorgio Parisi)[图片来源:©插图 Niklas Elmehed,诺贝尔奖推广部]

[1] Müller S.W. (1947) Permafrost and permanently frozen ground and related engineering problems. J.W. Edwards ed., 231 p.

[1] Popular science background : https://www.nobelprize.org/uploads/2021/10/popular-physicsprize2021.pdf , higher level

version:  https://www.nobelprize.org/uploads/2021/10/sciback_fy_en_21.pdf

[2] Budyko, I. (1969) “The effect of solar radiation variations on the climate of the earth.” Tellus 21, 611-619.

[3] Benzi , Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. (1982) “Stochastic resonance in climatic change”, Tellus 34, 10-16.

[4] Benzi , Sutera A., Vulpiani A. (1981) “The mechanism of stochastic resonance”, J. Phys. A: Math. Gen. 14, L453-457.

[5] Kolmogorov, N. (1941a) “The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds number”. Dokl. Akad. Nauk SSSR 30, 9-13 (translated in Proc. R. Soc. Lond. A 434, 9-13 (1991)).

[6] Kolmogorov, N. (1961) “Précisions sur la structure locale de la turbulence dans une fluide visqueux aux nombres de Reynolds élevés”, in “La Turbulence en Mécanique des Fluides”, 447-451, eds. A. Favre, L.S.G. Kovasznay, R. Dumas, J. Gaviglio & M. Coantic. Gauthiers-Villard, Paris. An English translation can be found in Kolmogorov, A.N. (1962) J. Fluid Mech. 13, 82 – 85.

[7] Batchelor, K and Townsend, A.A. (1949) “The nature of turbulent motion at large wave-numbers”. Proc. R. Soc. Lond. A 199, 238-255.

[8] Mandelbrot, (1974) “Intermittent turbulence in self-similar cascades: divergence of high moments and dimension of the carrier”. J. Fluid Mech. 62, 331-358.

[9] This variance is related to the « energy spectrum » which can be obtained also from the Fourier transform of the

[10] Frisch, , Sulem, P.L. and Nelkin, M (1978) “A simple dynamical model of intermittent fully developed turbulence”. J. Fluid Mech. 736, 5-23.

[11] Anselmet, , Gagne, Y., Hopfinger, E.J. and Antonia, R.A. (1984) “High-order velocity structure function in turbulent shear flow”. J. Fluid Mech. 140, 63-89.

[12] Cramér, (1938) “Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités”, Actualités Scientifiques et Industrielle. 736, 5-23.

[13] Kolmogorov, N. (1941) “On the logarithmic normal law of distribution of the size of particles under pulverization” Dokl. Akad Nauk SSSR 31, 99-101.

[14] Parisi, and Frisch, U. (1985) On the singularity structure of fully developed turbulence, in Turbulence and Predictability in Geophysical Fluid Dynamics. Proceed Intern. School of Physics ‘E. Fermi’. 1983. Varenna. Italy, 84-87. This is an Appendix to the paper ‘Fully Developed Turbulence and Intermittency’ by Frisch, U. pp. 71-88.

[15] Benzi, Paladin, Parisi and Vulpiani (1984) “On the multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic systems”, J. Phys. A: Math. Gen. 17, 3521.

[16] Frisch, (1995) “Turbulence, the Legacy of A.N. Kolmogorov”, Cambridge University Press.

[17] Meyer, Y. (2021) “Giorgio Parisi et la turbulence”, Available in French on the site of the “Institut national des sciences mathématiques et de leurs interactions” https://www.insmi.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/giorgio-parisi-et-la-turbulence-par-yves-meyer .

[18] Jaffard, (2000) “On the Frisch-Parisi conjecture”, J. Math. Pures Appl. 69, 6, 525-552.


翻译:彭玉,范嘉舜,侯大千          校对:张文霞,周天军         审核:王艳芬


环境百科全书由环境和能源百科全书协会出版 (www.a3e.fr),该协会与格勒诺布尔阿尔卑斯大学和格勒诺布尔INP有合同关系,并由法国科学院赞助。

引用这篇文章: BENZI Roberto, FRISCH Uriel (2022), 2021年诺贝尔奖得主乔治•帕里西对统计物理学的贡献, 环境百科全书,[在线ISSN 2555-0950]网址: https://www.encyclopedie-environnement.org/zh/physique-zh/parisi-nobel-prize-physics-2021/.

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