2021年诺贝尔奖得主乔治·帕里西对统计物理学的贡献

PDF

  2021年诺贝尔物理学奖由三位获奖者分享，以表彰他们对复杂现象的研究。真锅淑郎（Syukuro Manabe）和克劳斯·哈塞尔曼Klaus Hasselmann奠定了我们对地球气候及人类对其影响的知识基础。第三位获奖者乔治·帕里西(Giorgio Parisi) 则因其在无序和随机现象理论方面的开创性贡献而获奖。在本文中，乔治·帕里西（Giorgio Parisi）的亲密合作者和朋友罗伯特·本齐（Roberto Benzi）和乌里尔·弗里希（Uriel Frisch）分享他们对他的两项主要贡献的见解。罗伯特·本齐解释了帕里西及其合作者在从温带气候向冰河时期气候转变的概念理解方面的贡献。乌里尔·弗里希讨论了科学界中最古老的未解决问题之一，涉及湍流动力学及其“分形”的扩散问题。其他两位获奖者的贡献在另一篇文章中以“气候”为题展示。

1. 对复杂系统理解作出突破性贡献获得诺贝尔奖

  虽然IPCC在2007年获得了诺贝尔和平奖，但气候科学直到2021年才首次获得诺贝尔物理学奖的荣誉。这门科学依赖于经典流体力学和热力学过程，似乎远离当前物理学的前沿。然而，困难在于这些不同过程的复杂相互作用，发生在空间和时间的巨大范围内。

  在这三位获奖者中，真锅淑郎（Syukoro Manabe）和克劳斯·哈塞尔曼（Klaus Hasselmann）首创了当前气候模型的建模方法（阅读“诺贝尔奖得主2021克劳斯·哈塞尔曼（Klaus Hasselmann）和真锅淑郎（Syukoro Manabe）对气候科学的贡献”）。在非常有限的计算机能力的助力之下，创建这样的模型来评估主导效应，需要对物理具有深刻的理解。一个更为根本的限制源于系统的不稳定，例如，即便用现在最强大的计算机，也很难准确预报天气。然而，这样的混沌行为却导致了气候研究所要求的长时间尺度上定义明确的统计数据。这是统计物理学（statistical physics）的领域，乔治•帕里西（Giorgio Parisi ）在这一研究领域做出了一些重要贡献。

  统计物理学的发展起初是为了从第一原理中推导出物质的特性。路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann ）澄清了熵的概念，作出了开创性贡献。之后，阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）和保罗·朗之万（Paul Langevin ）量化了在随机分子碰撞的作用下胶体粒子的布朗运动。克劳斯·哈塞尔曼（Klaus Hasselmann）将类似的方法应用于气候系统，在这个系统中，快速天气波动取代了分子碰撞。乔治·帕里西及其同事分析了这种波动如何触发两个稳定状态之间的转换，这在第2节中讨论。

  第3节讨论一个不同的主题，即湍流的老问题，也就是不同规模的涡流之间的复杂互动。一个多世纪以来，这个问题一直困扰着物理学和数学。乔治·帕里西提出了多分形的概念来解释实验数据。

  请注意，这两个课题并不是乔治·帕里西获得诺贝尔奖的唯一贡献。他最著名的工作是无序磁系统理论，瑞典皇家学院的官方报告[1]对此作了解释。他的诸多贡献为理解复杂系统的提供了洞见，不仅影响了物理学，也影响了数学、生物学、神经科学和机器学习领域。在他亲和、激励式的领导下，这种影响也使他的学生和同事受益。

2. 随机共振和间冰期（作者：罗伯特·本齐）

  分析格陵兰岛和南极洲的冰层成分的科学家提供了很好的证据，在过去的一百万年左右，地球气候经历了冰川期和间冰期，周期性约为10万年，温差约为10度。如何解释所观察的气候行为的准周期性交替是个难题（阅读“气候的天文理论：漫长的历史”）。

  为了解决这个问题，可以考虑最简单的气候模型，该模型涉及地球表面能量收支（见图1）。太阳提供入射辐射（R_in），部分被地球表面（冰、云和其他表面效应）反射（R_out）到空间。净入射辐射R_in-R_out使地球表面变暖，发出红外辐射。知道了净入射辐射，就可以利用关于辐射排放如何取决于温度的知识来估算地面温度（在全球范围内）。在静止状态下，这种红外辐射正好平衡了净入射辐射R_in-R_out。这样就提供了一个相当好的地球平均全球温度的估算，对应于目前的间冰期，大约为15摄氏度（阅读“地球平均温度”）。

  尽管出射的红外辐射被大气中的温室气体部分吸收，但净发射量是温度的一个递增函数，接近于T4中的黑体表达式（阅读“黑体的热辐射”）。这在图2中被勾画成T的线性函数。至于反射辐射，它在很大程度上取决于雪的覆盖面积，雪比地面和自由流动的水更有效地反射光线。因此，入射通量R_in-R_out也随着温度的升高而增加。正如布迪科（Budyko）[2]和赛勒斯（Sellers）所示，随着北美和欧亚大陆上的大冰盖的融化，这种增长是相当急剧的。这导致了图2中的黑色曲线。

  静止状态对应于两条曲线的三个交叉点。然而，中间点代表一个不稳定的状态：离开这个静止点的温度小幅上升确实会导致入射辐射R_in-R_out过量，导致温度进一步上升，直到系统到达温暖的稳定点。同样，温度的轻微下降也会被放大，导致代表冰川气候的寒冷稳定点。因此，这个模型为两种稳定状态提供了一个简单的概念解释。在最初的布迪科-赛勒斯（Budyko-Sellers）模型中，冰川状态是指冰雪覆盖的地球。它对应的是极低的温度，在过去一百万年的古气候记录中从未观察到。

  20世纪20年代末，塞尔维亚地球物理学家米卢廷·米兰科维奇（Milutin Milanković）对地球围绕太阳的轨道变化进行了精确而繁琐的计算。他发现，由于偏心率的变化，全球的入射辐射正以大约10万年的周期变化。后来约翰·英博瑞（John Imbrie）和其他人发现，米兰科维奇计算的太阳辐射入射的振荡，几乎与冰川期—间冰期振荡期间的地球古气候温度相一致。

  乍一看，人们可能认为米兰科维奇周期能够解释古气候记录中观察到的几乎是周期性的行为。然而，一个困惑了科学家们几十年的重大问题：米兰科维奇的太阳入射辐射的波动极其微弱，只有0.1%的数量级。这种微小的入射辐射R_in-R_out调制将导致大约0.2度的温度调节，比记录中的冰川期和间冰期的温差要小得多。

  80年代初，乔治·帕里西和同事提出一种新的理论方法来解决这一难题[3]，其出发点也是先前考虑的地表能量收支。通过观察气候记录和环流数值模型，他们发现由于气候的内部及非线性动力学，地球平均温度每年都在波动。关键是要将这些波动视为“噪声”，而且是嵌入气候系统的“内部噪声”。在此基础上， 帕里西和同事发现如果存在两种温差约为10度的气候状态，那么由于内部气候波动，地球气候会呈现出从一种状态到另一种的随机漂移。如果两种状态与观测到的冰期和间冰期相对应，那么这种漂移平均每5万年会随机发生一次。这与典型的5万年转换间隔相吻合，但是没有古气候记录中观测到的真实周期性。

  这两种状态的存在也可以理解为地表反射的变化是温度的函数：不难想象，随着温度降低，气候系统中冰量和云量增加，达到平衡气候状态。

  最后一步是考虑米兰科维奇循环对该系统的影响。在此他们发现了现今的随机共振机制（the mechanism of stochastic resonance）：即便很小，米兰科维奇循环也能够改变从当前的间冰期气候向冰期状态转换的概率。这些转换几乎在与米兰科维奇循环同步发生。事实上，转换的概率随着到不稳定中间态的距离呈指数递减，因此米兰科维奇循环将这一距离少量缩减，就足以有力推动转换。图3为本齐（Benzi）、 帕里西、 苏特拉（Sutera ）和 伍尔皮亚尼（Vulpiani）原文[3]模型中的温度表现。

  除了两种气候状态（冰期和间冰期）的存在这一重要观点之外，帕里西及同事提出的理论还基于两个基本概念：长时间尺度上的噪声效应（noise effects）以及噪声-强迫协同效应（noise-forcing cooperation）。

  气候理论中，噪声首次被看作长时间尺度上气候变化的驱动机制。在气候中，我们所说的噪声是指小尺度非线性气候变量对所谓的“粗粒度”变量（如地球全球温度）的影响。如今，定义明确的量化例子让我们能够谈论噪声，尽管这个词本身可能产生误导。噪声的影响使任何系统围绕某个稳定状态（如果存在）进行波动。然而，如果系统是非线性的，且存在多个稳定状态，噪声则能够以指数小概率将系统从一个状态向另一个状态驱动。尽管概率较小，在较长的时间尺度上，如在气候中，人们应能观测到状态之间的随机（非周期）转换。

  第二点，即噪声和外部强迫的协同效应，不仅在气候学家中，在物理学上也是全新的：没有人考虑过这种可能性。帕里西及同事的论文[3]首次表明，这种协同可能发生在地球气候这样的非线性系统中。后来，这种协同效应被应用于混沌系统[4]，现今，随机共振机制在物理学、生物学和其他科学研究中的应用已数以千计。

3. 湍流的多重分形模型（乌里尔·弗里希）

  在罗马时代，卢克莱修（Lucretius）就已经对空气或水中类似的湍流运动产生了兴趣。16世纪初，列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）研究了河流中漩涡的衰变，如图4所示。这些都表明，湍流是最古老的科学未解难题之一。

  我们从与乔治·帕里西的研究直接相关的最早的成果开始，即A.N. 柯尔莫哥洛夫(A.N. Kolmogorov, 1941) [5]的研究，简称K41。该研究以“ 充分发展湍流”为对象，指漩涡可以在很大尺度范围内自由相互作用。通过相互作用，将能量传递给小的漩涡，它们被粘性耗散。这种所谓的能量级串（energy cascade）存在风险，例如在湍流减阻的过程中（参见《运动物体受到的阻力》）。最大尺度上的具体流动特征会通过这个级串过程被湍流相互作用所打乱。柯尔莫哥洛夫随后发现，若完全忽略粘性影响，可以得出一个动力学方程，其中越来越小的漩涡在统计意义上与大的控制漩涡相似。当粘度趋于0时，相似性水平由有限的能量耗散率决定。这一自相似图像（见图5a）取得了惊人的成功。

  尽管柯尔莫哥洛夫首先是个数学家，而且是20世纪最伟大的数学家之一，他仍希望使用从莫斯科实验室(Moscow laboratory)及周边收集到的实验数据证实他的理论。这些研究有力地证明，湍流与上述自相似图像相去甚远：小漩涡比大漩涡填充的空间少得多，并呈现出间歇性（intermittency）（见图5b）。因此，柯尔莫哥洛夫与合作者在1961年提出了间歇性模型[6]。

  G.K.巴切勒（G.K. Batchelor）和A.A.汤森（A.A. Townsend） (1949) [7]也发现了间歇现象，引出了这一现象是否与K41的自相似图像一致的问题。为描述柯尔莫哥洛夫的间歇性，B.曼德尔布罗特（B. Mandelbrot,1974） [8]提出使用“分形（fractal）”模型通过在越来越小的尺度上迭代插入相似的模式而获得的几何对象。自19世纪末起，数学家们就引入了这一概念。1950年，湍流和大气动力学研究的另一巨匠L.F.理查森（L.F. Richardson）在完全不同的背景下使用了分形，研究如何避免国家之间的冲突。国家之间错综复杂的边界看起来确实比直线的边界更容易引发冲突。

  回到湍流，速度探针穿过湍流场，会产生典型的“噪声”切口，如图6（上）所示。类似的噪声信号在很多复杂系统中都会遇到，如图6（下）所示的金融市场。它们吸引数学家的原因是它们无处不粗糙（斜率未定义）。

  要掌握信号的多尺度结构，一种自然方法就是研究相隔给定距离Δr的两点之间的速度差Δv。方差（|Δv|2的平均值）表示能量在不同尺度间的分配[9]。

  然而，这并非全部：这一方法没有将稀有且强烈的涡旋与具有相同全局能量的空间填充涡旋区分开来（相关信息请参见图6右手边所示的概率分布直方图）。这些直方图的长“尾巴”代表稀有及强烈涡旋。随着间距Δr的减小，这些涡旋变得更强，说明小涡旋很稀疏。这就是间歇性的本质。通过考虑时间间隔Δt而不是距离，可以对任何时间序列进行类似的分析，如图6所示的关于金融市场的分析。图中尾部表示在给定的时间间隔内大幅下降或上升的概率，这与风险管理直接相关。

  再回到湍流的问题上，这些尾巴可以通过考虑|Δv|p（p阶矩）的平均值来评估。它们对大的波动确实越来越敏感，因为它们的p阶越高。它们对间距Δr的依赖，称为结构函数，因此具有间歇性的特征。在K41描述的真正自相似级串中，p阶结构函数表现为幂律Δrp/3（图7）。实验表明，指数ζ(p)小于p/3的幂律|Δr|ζ(p)：在小间距Δr的极限下，高阶矩相对较强，从而量化了间歇性。

  柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）在1961年提出的模型更接近实验结果，但它导致大指数p的ζ(p)值减小，这数学上是不一致的。因此，以弗里希（Frisch）、苏莱姆（Sulem)、内尔金（ Nelkin）（1978）[10]为代表等科学家引入了与湍流动力学方程有一定联系的分形模型，作为替代。该模型使得ζ(p)和p线性增加，且斜率小于1/3。斜率依赖于单一参数，如分形维数，从而量化了活跃涡旋在越来越小的尺度上是如何变得越来越稀疏的。然而实验结果却是图7中所呈现的一个凸曲线。

  1983年夏天，乔治·帕里西和乌里尔·弗里希参加了意大利瓦伦纳的暑期班，主题是“地球物理流体动力学和气候动力学中的湍流和可预测性”。F. Anselmet, Y. Gagne, E.J. Hopfinger, R.A. Antonia的实验数据[11]几乎不能与单个分形兼容（如图7所示）。乔治·帕里西凭着非凡的物理直觉，提出了一个多重分形模型来对其进行解释。这种一致性依赖于拟合参数，但背后的分析揭示了深刻的数学属性。

  这种具有不止一个、甚至是无限多个分形维数的想法源于一个非常困难的主题：评估大风险或金融破产。瑞典数学家哈拉尔德·克拉梅尔（H.Cramér）（1938）[12]有着金融相关的背景，他在这方面做出了一些开创性的工作。在克拉梅尔的研究之前，普遍观点认为，通过增加n个独立的、等分布的随机变量，就可以（在适当的条件下）得到两个主要性质：平均值将趋向于平均值（大数定律）；将离均差除以n1/2，结果将趋向于高斯定律（中心极限定理）。

  如果我们将变量相乘而非相加（或等效地，将变量相加并取其指数），会发生什么情况呢？这正是柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）[13]研究的岩石粉砕问题。给定颗粒尺寸的概率实际上是连续独立破碎事件概率的乘积。因此，获得高斯极限的情况非常罕见。所有这些问题都涉及一个奇怪的函数，称为大偏差函数，它表征了与大数定律的偏差。该函数的名称因领域不同而不同：“速率函数”、“克拉梅尔函数”或“熵”。是的，玻尔兹曼熵只是一个特例；在没有任何高级概率理论的情况下理解熵是非常卓越的，除非是玻尔兹曼本人。

  以下是一些关于多重分形的主要参考文献。最初涉及多重分形的文献实际上是帕里西和弗里希表在1983年瓦伦纳会议记录上的一篇论文的2.5页附录[14]。紧随其后的是，本齐，帕拉丁（Paladin），帕里西和武尔皮亚尼（Vulpiani）写了一篇更详细的论文[15]。这篇论文从充分发展的湍流向混沌动力系统的奇异吸引子提供了重要的扩展。这些八十年代的论文的关键论点利用了勒让德变换，这与在统计热力学中定义熵时出现的变换相同，但没有提到克拉梅尔的大偏差。弗里希（Frisch）（1995）[16]的书籍提供了一个更加详细的介绍，重点是对大偏差的基础介绍。最后，伊夫·梅耶尔（Yves Meyer）（2021）[17]在网上发表了一篇文章，原本是为数学家所撰写的，但没有高级数学知识的人也可以阅读。

  回想一下，路易斯·弗莱·理查德森（L.F. Richardson）在20世纪20年代就已经意识到分形，当时他引入了湍流中的级串。L.F. ·理查德森借用了乔纳森·斯威夫特（Jonathan Swift）写的一首诗，这首诗在图8中与杰雷米·贝克（Jérémie Bec）的插图一起呈现给大家。除非左跳蚤和右跳蚤之间的头到头的距离变得更小，否则跳蚤模型显然是分形的（而且很容易多重分形）。正如伯努瓦·曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）所指出的，分形在自然现象中是相当普遍的，这是我们所希望看到的结果。曼德布罗特反对那些把一切都弄得直截了当的人。

  最后，我们要强调一个悖论。湍流测量越来越精确，推动着多重分形分析的发展。关于模型方程中出现的多重分形奇点，有一些切实可靠的定理[18]。然而，我们还找不到一个已经被证明的定理，可适用于描述三维强湍流的Navier-Stokes方程。尽管存在不稳定的数学基础，多重分形分析现在通常被用来定量分析环境中观察到的各种复杂的混沌或湍流现象，如气候时间记录、阵风、云形状、太阳风。

4. 要点 

• 乔治·帕里西（Giorgio Parisi）对统计物理学做出卓越的贡献，取得重大进展，而被授予2021年诺贝尔物理学奖。
• 在他所做出的贡献中，有两项与气候和环境流有关，即“随机共振”和“多重分形”概念；
• 随机共振是噪声和外部周期性强迫的共同作用，它可以导致两个稳定态之间近乎周期性的切换。它最初是作为近百万年古气候记录的概念模型提出的，但后来在物理、生物学和其他科学领域有许多应用；
• 多重分形被用来来描述湍流中观察到的多尺度结构。多重分形这一概念被证明与其他混沌系统有很深的关联，它也带来了随机过程数学分析的进步。

 

---

参考资料及说明

封面图片：诺贝尔物理学奖三位获奖者，从左到右，真锅淑郎（Syukuro Manabe）和乔治·帕里西（Giorgio Parisi）[图片来源：©插图 Niklas Elmehed，诺贝尔奖推广部]

[1] Müller S.W. (1947) Permafrost and permanently frozen ground and related engineering problems. J.W. Edwards ed., 231 p.

[1] Popular science background : https://www.nobelprize.org/uploads/2021/10/popular-physicsprize2021.pdf , higher level

version:  https://www.nobelprize.org/uploads/2021/10/sciback_fy_en_21.pdf

[2] Budyko, I. (1969) “The effect of solar radiation variations on the climate of the earth.” Tellus 21, 611-619.

[3] Benzi , Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. (1982) “Stochastic resonance in climatic change”, Tellus 34, 10-16.

[4] Benzi , Sutera A., Vulpiani A. (1981) “The mechanism of stochastic resonance”, J. Phys. A: Math. Gen. 14, L453-457.

[5] Kolmogorov, N. (1941a) “The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds number”. Dokl. Akad. Nauk SSSR 30, 9-13 (translated in Proc. R. Soc. Lond. A 434, 9-13 (1991)).

[6] Kolmogorov, N. (1961) “Précisions sur la structure locale de la turbulence dans une fluide visqueux aux nombres de Reynolds élevés”, in “La Turbulence en Mécanique des Fluides”, 447-451, eds. A. Favre, L.S.G. Kovasznay, R. Dumas, J. Gaviglio & M. Coantic. Gauthiers-Villard, Paris. An English translation can be found in Kolmogorov, A.N. (1962) J. Fluid Mech. 13, 82 – 85.

[7] Batchelor, K and Townsend, A.A. (1949) “The nature of turbulent motion at large wave-numbers”. Proc. R. Soc. Lond. A 199, 238-255.

[8] Mandelbrot, (1974) “Intermittent turbulence in self-similar cascades: divergence of high moments and dimension of the carrier”. J. Fluid Mech. 62, 331-358.

[9] This variance is related to the « energy spectrum » which can be obtained also from the Fourier transform of the

[10] Frisch, , Sulem, P.L. and Nelkin, M (1978) “A simple dynamical model of intermittent fully developed turbulence”. J. Fluid Mech. 736, 5-23.

[11] Anselmet, , Gagne, Y., Hopfinger, E.J. and Antonia, R.A. (1984) “High-order velocity structure function in turbulent shear flow”. J. Fluid Mech. 140, 63-89.

[12] Cramér, (1938) “Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités”, Actualités Scientifiques et Industrielle. 736, 5-23.

[13] Kolmogorov, N. (1941) “On the logarithmic normal law of distribution of the size of particles under pulverization” Dokl. Akad Nauk SSSR 31, 99-101.

[14] Parisi, and Frisch, U. (1985) On the singularity structure of fully developed turbulence, in Turbulence and Predictability in Geophysical Fluid Dynamics. Proceed Intern. School of Physics ‘E. Fermi’. 1983. Varenna. Italy, 84-87. This is an Appendix to the paper ‘Fully Developed Turbulence and Intermittency’ by Frisch, U. pp. 71-88.

[15] Benzi, Paladin, Parisi and Vulpiani (1984) “On the multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic systems”, J. Phys. A: Math. Gen. 17, 3521.

[16] Frisch, (1995) “Turbulence, the Legacy of A.N. Kolmogorov”, Cambridge University Press.

[17] Meyer, Y. (2021) “Giorgio Parisi et la turbulence”, Available in French on the site of the “Institut national des sciences mathématiques et de leurs interactions” https://www.insmi.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/giorgio-parisi-et-la-turbulence-par-yves-meyer .

[18] Jaffard, (2000) “On the Frisch-Parisi conjecture”, J. Math. Pures Appl. 69, 6, 525-552.