黑体的热辐射

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  为什么金属受热时会变色？如何确定白炽灯等光源或太阳或恒星表面的温度？宇宙的温度是多少？热成像相机的原理是什么？这些问题的答案是基于对黑体（即一个物体吸收了它接收到的所有光）辐射的分析。解释这种辐射的普朗克理论是量子力学发展的第一步。

1. 不同类型的辐射

  辐射有几种类型，即波的发射。我们可以列出：

• 说话的人、乐器或扬声器发出的声波，随着波传播的振动量是压强。
• 地震波是弹性波，可以通过根据地震的强度对介质进行修改的方式来穿过介质。
• 电磁波，顾名思义，其特征是以一定频率振动的电场E和磁场B。这些场相互垂直，并与波的传播方向垂直。

  在《天空的颜色》一文中，对电磁波进行了详细的描述。在给定环境中传播的特定电磁波的特征在于其频率ν、其电场的振幅和方向、其在所考虑的环境中的传播速度（或速度）V。在真空中，这个速度是≃ 300 000 km*s^-1。波长为λ = V/ν：是在T = 1/ν周期内，速度为V的波传播的距离。频率以赫兹（Hz）表示，即周期/秒，简称为s^-1。电磁波的强度与其电场振幅的平方成正比。它代表波所携带的能量流。电场的方向，当固定时，就是它的极化。

  不同的电磁波根据它们的频率ν分类，或者等价地根据它们在真空中的波长λ = c/ν分类。波长范围很宽：从大型无线电波的10³m到γ射线的10^-12m。我们肉眼可见的光谱仅限于波长在0.4µm的紫色和0.8µm的红色之间（1µm=1/1000mm）。

  电磁波是由电荷的快速振荡产生的。无线电波（λ ~ 100m）、电视波（λ ~ 10m）、手机和WIFI（无线局域网，λ ~ 0.10m）使用的无线电波是由激发电流穿过的天线发射的。较短的波长，如X射线（λ ~ 10^-10m），可以通过在真空中以不同的能量加速或制动电子，或者由先前激发的原子发射来获得。γ射线是由核反应产生的（见《放射性》）。

  由能量源激发的气体的原子或分子发出特定波长的电磁辐射，这是气体性质的特征（这就是如何知道恒星表面的化学成分）。这叫做谱线。还有一种所谓的热辐射，任何物体发出热辐射仅仅是因为它的温度。这种辐射分布在连续的波长范围内，称为连续光谱。这是白炽灯、太阳或星星的情况，更一般地说，是加热到一定温度的物体表面。为了分析这种辐射，有必要研究下一节中定义的黑体的特性。

2. 黑体的内部辐射

  黑体是一个理想物体，它会吸收所有自身接收到的电磁能量，而不会发生反射或传输。这样被照亮时，它将完全吸收光线，并且呈现出黑色，因此得名。然而，它只在低温下呈现黑色，因为它发光，且随着温度的升高，通量明显增加；这里描述的就是这种现象。

  黑体可以很好地由在绝对温度T下加热的钻了小孔的空腔（例如：熔炉）来表示。该孔必须足够小，以免干扰空腔中的平衡（图1）。事实上，如果壁上的孔足够小，任何从外部进入空腔的辐射都会在壁上反射几次，并且通过孔射出的可能性非常低。然后，从孔到外部的辐射可以作为发射波的频率ν和腔壁的温度T的函数进行实验分析。

  在这个不存在任何气体的简化空腔中，构成壁的原子会永久地发出电磁辐射，并吸收这些壁的其他原子发出的辐射。这种发射可以用经典的带电粒子运动来定性解释。每个原子都是由带正电荷的原子核和围绕它的负电荷电子云组成的。它的行为类似于静电偶极子，即一个正电荷结合一个负电荷。在温度的作用下，这个偶极子随机振荡，表现得就像一个被微电流所激发的微型天线，辐射能量。这种连续光谱辐射占据了整个空腔。相反，波的电场使这些电荷运动，从而给它们提供能量，这就构成了吸收。平衡状态很快就能达到，因此在单位时间内，原子发出的能量等于吸收的能量。

  因此，电磁能量密度 ρ(T)（空腔每单位体积的能量）是恒定的。这个能量密度来自频率从0到无穷大的所有波。可以看出，ρ(T) 与绝对温度T的4次方成正比，即 ρ(T) = αT⁴。总能量，也就是发射的辐射，随着温度的升高而显著增加。因此，当空腔处于高温时，小孔看起来非常明亮，而在非常低的温度下，小孔完全变黑。

  在频率ν下，每个对能量密度的贡献 ρν(ν, T) 构成了所谓的光谱能量密度。经验表明，它在空腔中的每个点都是一样的，并且它与空腔的几何形状和体积以及构成空腔壁的材料无关：它是ν和T的普适函数。要测量这个函数，只需在空腔中钻一个小孔，并分析作为ν和T的函数的辐射。

  在每个温度下，观察到函数 ρ_ν(ν, T) 遵循作为频率函数的一个钟形曲线（图2），在频率值ν_m = 5.879 ×10¹⁰T (s^-1) 存在显著的最大值，且随用K（开尔文）表示的温度线性增加。这解释了辐射体的颜色变化：铁在680℃ (953K) 时呈暗红色，在810℃时呈浅红色，在1000℃时呈黄色，在1200℃时呈白色[1]。

3. 黑体辐射的能量

  空腔内的能量密度是一个难以直接测量的量，取而代之的是由表面小孔S辐射的能量流。这种通量可以通过在孔前放置一个传感器来测量，该传感器的加热速率将代表吸收辐射的能量。通过表面辐射的能量流定义为单位时间和面积上穿过该表面的能量。如果所有的辐射都以速度c垂直于表面S逃逸（图3a），则体积成分Sc dt将在时间dt内穿过表面。因此，相应的能量是ρSc dt。通过除 以时间和表面，我们将获得与总能量密度ρ直接相关的能量流ρc。

  实际上，通过表面S的流出受到一个因素¼的影响，该因素的原因是几何的。实际上，在空腔内部，辐射通过多次反射以各向同性的方式分布在所有方向上。因此，只有一小部分辐射在单位矢量u表示的方向附近以与法线n成角度θ的方式出射（图3b）。更准确地说，在u周围的非常小的立体角[2]dω中，只有辐射的比例dω/4π可以介入。此外，与前面的情况一样，必须考虑图3b中的倾斜圆柱体在时间dt内穿过表面的量。这个圆柱体在传播方向S cosθ处有一个法向截面和长度c dt。所以这个体积是S cosθ cdt。因此，单位时间和单位面积输出的基本流量为dφ=ρ=ρc cosθdω/4π。在洞外的半空间上，所有辐射方向cosθ/4π的总和，即等于¼，我们得到在1871年由经验发现的斯特藩-玻尔兹曼定律给出的总能量通量：

Φ = ρ c/4 = σT⁴ with σ = 5.670×10^-8 W.m^-2.K^-4

  频率辐射ν对该通量的贡献等于 ρν(ν, T) c/4，并且可以测量。需要注意的是，黑体发出的辐射完全独立于会穿透小孔并被完全吸收的入射辐射。斯特藩的博士生路德维希·玻尔兹曼于1884年在热力学中奠定了这种辐射的理论基础，但直到1901年马克斯·普朗克才利用量子理论阐明了这一基础（见《焦点》）。

4. 发射和吸收，基尔霍夫定律

  根据定义，如果吸收了某个频率域中的任何电磁辐射，则表面在该频率域中会呈现出黑色。然而，这个表面通过热辐射重新发射电磁波。温度T时表面S辐射的通量φ等于同一温度下空腔内同一表面的小孔发射的通量。事实上，如果小孔被黑色表面封闭（图3），在热平衡状态下，从黑色表面到空腔内部的热流必须与黑色表面吸收的来自空腔的平均热流大小相等，方向相反。

  类似，如果温度为T的非黑色物体吸收了落在其上的入射辐射的一小部分a，则该物体在相同温度下发出的辐射通量将是黑体在该温度下发出的通量的一倍。系数a指的是吸收率。发射率，即在相同温度下，从一个表面发射的辐射与黑体发射的辐射之比，用系数e表示。基尔霍夫定律指出，这两个系数是相等的，即a = e。对于像镜子一样的完美反射器，a = 0，因此e = 0：完美反射器不会出现热辐射。

  通常，最好将黑体的光谱能量密度表示为波长λ = c/ν的函数，而不是波的频率ν。这个函数 ρ_λ(λ, T) 很容易从 ρ_ν(ν, T) 得到（见《焦点》）。这个函数的图，在图4中表示为不同温度下λ的函数，看起来像钟形曲线。

  图5显示了卤素灯在3450 K时的辐射与黑体（e = 1）的辐射完全一致。

  在常温下，材料会辐射红外线。材料的发射率不仅取决于波长，还取决于其表面的状态。对于抛光铝箔，通常[3] e(λ= 3µm)= 0.09，e (λ = 10µm) = 0.04。如果我们观察对所有波长积分的总发射率e，我们得到：例如，抛光金的e = 0.02，沙子的e = 0.60，雪的e = 0.80，液态水的e = 0.96，白纸的e = 0.70-0.90，黑纸的e = 0.90，人类皮肤的e = 0.98。土壤和液态水的发射率接近1，这有助于通过卫星红外成像确定地面温度。

5. 维恩定律及其在天体物理学中的应用

  图4所示的 ρλ(λ, T）曲线显示了由维恩定律给出的λ_m的最大值：

λ_mT = 0.201 hc/k_B = 2.896×10^-3 m.K

  其中h是普朗克常数，c是真空中的光速，k_B是玻尔兹曼常数（见《压强、温度和热量》）。这个非常简单的表达式用于估计表面温度。

  -太阳表面的温度

  太阳表面可以看作是黑色表面的一次近似；当λ_m = 0.501 m时，太阳辐射的密度 ρλ(λ, T) 最大。从维恩定律可以推导出太阳表面的温度T_S = 5777 K。

  -太阳辐射到地球的热通量

  通过将太阳表面同化为黑色表面， 太阳辐射的通量遵循斯特藩-玻尔兹曼定律φ₀ =σT⁴ 。因此，半径为R₀ = 7×10⁵ km的太阳发出的总功率P₀是这个通量乘以半径为R₀的球体表面积，P₀ = 4πR₀²φ₀。在距离太阳为L的地方，相同的功率分布在半径为L的球体上，这代表一个局部通量φ’ = P₀/(4πL²)=φ₀(R₀/L)²。 在距地球的平均距离L = 1.5×10⁸km时，我们得到的通量φ′= 1367 W/m²。图6显示了在大气层外测得的太阳实际发射光谱，可将其和普朗克定律的理论表达式进行比较，其与T = 5777 K时的 ρ_λ(λ, T) 成正比。与理论黑体曲线的几个最显著的偏差是由于太阳表面存在的元素的发射线和吸收线，主要是氢的巴尔默线[4]。

  -地球表面的辐射温度

  这一主题已在文章《地球的气体外壳》中讨论了。

  -来自宇宙的化石辐射

  彭齐亚斯和威尔逊在1964年发现了类似于黑体的化石辐射的存在，其最大值在λ_m =1.06 mm，对应于2.73 K的温度。这种辐射具有非常低的各向异性，即它根据接收天线的方向变化非常小。这一观察为大爆炸模型提供了重要的支持，该模型假设宇宙随着时间的推移不断膨胀并冷却。根据这一理论，宇宙辐射自初级时期以来就一直存在，当时宇宙温度大约4000 K，由电子和质子组成。这种由电子和质子组成的等离子体与所有频率的电磁辐射强烈相互作用，因此物质和辐射处于平衡态。然后，宇宙冷却到3000 K，形成一种主要由氢原子组成的物质。与黑辐射的相互作用仅在氢的特征频率下进行。因此，大部分电磁辐射与物质解耦，宇宙通过绝热膨胀冷却到2.73 K（类似于气体膨胀）。在之前的解耦后，物质演化成更重的原子，这些原子自组织形成星系、恒星和尘埃云。来自这些物体的电磁辐射被加入到黑体的宇宙辐射中。

  图7显示了这种宇宙辐射作为频率函数的通量谱，它是用1989年的COBE卫星[5]测量的。由普朗克公式（见《焦点》）给出的比例于能谱密度 ρν(ν, T) 的理论曲线完美叠加在T = 2.726 K的实验点上，需要注意的是，化石辐射存在于宇宙各处，目前对应于约为500 photons/cm³的总辐射。

6. 热成像摄像机的应用

  热成像摄像机[6]记录根据发射体的温度而变化的不同红外线。因此，可以根据黑体辐射定律来测量温度。一个可拆卸的过滤器可以将辐射整合到光谱大气透明窗口中。该系统将辐射功率转换成数字或模拟信号：这些信号由计算机转录成温度并转换成图像。这样获得的图像称为“热像图”。

  红外辐射的波长依赖于温度；在室温下，大约300 K，维恩定律给出的最大辐射约为λ ~ 10 µm，这些相机的传感器测量接收到的红外辐射，是在λ = 10 µm附近的选定波长范围内对函数 πλ(λ, T) 的比例贡献之和，相机产生的颜色是通过将颜色与接收到的强度相关联而获得的假颜色，能够便于直接读取温度：图像中的每种颜色都具有相应的温度，如本文封面照片上的热图像或图8中狗的热图像。

  热摄像机可以在许多情况下使用：消防员在难以到达的地方搜索地震受害者及其位置，或者检测正在出现或燃烟的火灾，公司检测建筑隔热材料的薄弱点，机场检测疑似发烧的人，研究蝙蝠等夜间活动的物种，而无需使用可见光源干扰它们。

 

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参考资料及说明

封面照片：英国地铁口的热像 [来源：CC BY- Visual Hunt （极博双板滑雪俱乐部）]

[1] http://www.thethermograpiclibrary.org/index.php?title=Table_emissivated_in_thermography

[2] 就像角度代表单位半径圆的弧长一样，立体角代表单位半径球面上的一部分曲面。对于在点O处的观察者来说，看到物体的立体角是物体的表观表面在以O为中心的单位半径球体上的投影。例如，在封闭的空腔内，看到空腔的立体角是单位半径球体的总表面积，即4π。

[3] http://www.thethermograpiclibrary.org/index.php?title=Table_emissivated_in_thermography

[4] 埃利贝洛瑞斯基（Elie Belorizky），量子力学导论（Introduction to Quantum Mechanics），杜诺德（Dunod），巴黎（Paris），2003.

[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmic 微波背景。

[6] 不要与用于简单夜视的所谓红外相机混淆，红外相机在较短的波长（1米）下工作，不能用于热测量。

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译者：魏丙坤          编审：苗兵老师          责任编辑：胡玉娇